Связь между импульсной и передаточной функцией. Импульсная передаточная функция. Распределение времени лекции

Импульсная (весовая) характеристика или импульсная функция цепи – это ее обобщенная характеристика, являющаяся временной функцией, численно равная реакции цепи на единичное импульсное воздействие на ее входе при нулевых начальных условиях (рис. 13.14); другими словами, это отклик цепи, свободной от начального запаса энергии на дельта-функцию Дирана
на ее входе.

Функцию
можно определить, рассчитав переходную
или передаточную
функцию цепи.

Расчет функции
с использованием переходной функции цепи. Пусть при входном воздействии
реакцией линейной электрической цепи является
. Тогда в силу линейности цепи при входном воздействии, равном производной
, реакция цепи будет равна производной
.

Как отмечалось, при
, реакция цепи
, а если
, то реакция цепи будет
, т.е. импульсная функция

Согласно свойству выборки
произведение
. Таким образом, импульсная функция цепи

. (13.8)

Если
, то импульсная функция имеет вид

. (13.9)

Следовательно, размерность импульсной характеристики равна размерности переходной характеристики, поделенной на время.

Расчет функции
с использованием передаточной функции цепи. Согласно выражению (13.6), при воздействии на вход функции
, откликом функции будет переходная функция
вида:

.

С другой стороны, известно, что изображение производной функции по времени
, при
, равно произведению
.

Откуда
,

или
, (13.10)

т.е. импульсная характеристика
цепи равна обратному преобразованию Лапласа ее передаточной
функции.

Пример. Найдем импульсную функцию цепи, схемы замещения которой представлены на рис. 13.12, а ; 13.13.

Решение

Переходная и передаточная функции этой цепи били получены ранее:

Тогда, согласно выражению (13.8)

где
.

График импульсной характеристики
цепи представлен на рис. 13.15.

Выводы

Импульсная характеристика
введена по тем же двум причинам, что и переходная характеристика
.

1. Единичное импульсное воздействие
– скачкообразное и потому довольно тяжелое для любой системы или цепи внешнее воздействие. Следовательно, важно знать реакцию системы или цепи именно при таком воздействии, т.е. импульсную характеристику
.

2. При помощи некоторого видоизменения интеграла Дюамеля можно, зная
вычислить реакцию системы или цепи на любое внешнее возмущение (см. далее пп. 13.4, 13.5).

4. Интеграл наложения (дюамеля).

Пусть произвольный пассивный двухполюсник (рис. 13.16, а ) подключается к источнику непрерывно изменяющегося с момента
напряжения(рис. 13.16,б ).

Требуется найти ток (или напряжение) в любой ветви двухполюсника после замыкания ключа.

Задачу решим в два этапа. Сначала искомую величину найдем при включении двухполюсника на единичный скачок напряжения, который задается единичной ступенчатой функцией
.

Известно, что реакцией цепи на единичный скачок является переходная характеристика (функция)
.

Например, для
– цепи переходная функция по току
(см. п.2.1), для
– цепи переходная функция по напряжению
.

На втором этапе непрерывно изменяющееся напряжение
заменим ступенчатой функцией с элементарными прямоугольными скачками
(см. рис. 13.16б ). Тогда процесс изменения напряжения можно представить как включение при
постоянного напряжения
, а затем как включение элементарных постоянных напряжений
, смещенных относительно друг друга на интервалы времени
и имеющих знак плюс для возрастающей и минус для падающей ветви заданной кривой напряжения.

Составляющая искомого тока в момент от постоянного напряжения
равна:

.

Составляющая искомого тока от элементарного скачка напряжения
, включаемого в момент времениравна:

.

Здесь аргументом переходной функции является время
, поскольку элементарный скачок напряжения
начинает действовать на времяпозднее замыкания ключа или, иначе говоря, поскольку промежуток времени между моментомначала действия этого скачка и моментом времениравен
.

Элементарный скачок напряжения

,

где
– масштабный коэффициент.

Поэтому искомая составляющая тока

Элементарные скачки напряжения включаются на интервале времени от
до момента, для которого определяется искомый ток. Поэтому, суммируя составляющие тока от всех скачков, переходя к пределу при
, и учитывая составляющую тока от начального скачка напряжения
, получаем:

Последняя формула для определения тока при непрерывном изменении приложенного напряжения

(13.11)

называется интегралом наложения (суперпозиции) или интегралом Дюамеля (первой формой записи этого интеграла).

Аналогично решается задача при подключении цепи и источнику тока. Согласно этому интегралу реакция цепи, в общем виде,
в некоторый моментпосле начала воздействия
определяется всей той частью воздействия, которая имела место до момента времени.

Заменой переменных и интегрированием по частям можно получить другие формы записи интеграла Дюамеля, эквивалентные выражению (13.11):

Выбор формы записи интеграла Дюамеля определяется удобством расчета. Например, в случае, если
выражается экспоненциальной функцией, удобной оказывается формула (13.13) или (13.14), что обуславливается простотой дифференцирования экспоненциальной функции.

При
или
удобно применять форму записи, в которой слагаемое перед интегралом обращается в нуль.

Произвольное воздействие
может быть представлено также в виде суммы последовательно включаемых импульсов, как это изображено на рис. 13.17.

При бесконечно малой длительности импульсов
получим формулы интеграла Дюамеля, аналогичные (13.13) и (13.14).

Эти же формулы можно получить из соотношений (13.13) и (13.14), заменив а них производную функцию
импульсной функцией
.

Вывод.

Таким образом, на основе формул интеграла Дюамеля (13.11) – (13.16) и временных характеристик цепи
и
могут быть определены временные функции откликов цепи
на произвольные воздействия
.

Пусть произвольная импульсная система задана структурной схемой, представляющей собой совокупность стандартных соединений из простейших импульсных систем (соединений типа обратная связь, последовательных и параллельных). Тогда, чтобы получить передаточную функцию этой системы, достаточно уметь находить передаточную функцию стандартных соединений по передаточным функциям соединяемых импульсных систем, так как последние известны (либо точно, либо приближенно) (см. § 3.1).

Соединения чисто импульсных систем.

Формулы для вычисления -передаточных функций стандартных соединений чисто импульсных систем по z-передаточным функциям соединяемых чисто импульсных элементов совпадают с аналогичными формулами из теории непрерывных систем. Это совпадение происходит потому, что структура формулы (3.9) совпадает со структурой аналогичной формулы из теории непрерывных систем формула (3.9) описывает работу чисто импульсной системы точно.

Пример . Найти z-передаточную функцию чисто импульсной системы, заданной структурной схемой (рис. 3.2).

С учетом (3.9) из структурной схемы, изображенной на рис. 3.2, получаем:

Подставим последнее выражение в первое:

(сравнить с известной формулой из теории непрерывных систем ).

Соединения импульсных систем.

Пример 3.2. Пусть импульсная система представлена структурной схемой (см. рис. .3.3, без учета пунктира и штрихпунктира). Тогда

Если нужно определить дискретные значения выхода (см. фиктивный синхронный ключ на выходе - пунктир на рис. 3.3), то способом, аналогичным тому, который использовался при выводе (3.7), получим, связь:

Рассмотрим другую систему (рис. 3.4, без учета пунктира), которая отличается от предыдущей лишь местом расположения ключа. Для нее

При фиктивном ключе (см. пунктир на рис. 3.4)

Из полученных в этом примере соотношений можно сделать выводы.

Вывод 1. Вид аналитической связи входа как с непрерывными [см. (3.10), (3.12)], так и с дискретными [см. (3.11), (3.13)] значениями выхода произвольной импульсной системы существенно зависит от места расположения ключа.

Вывод 2. Для произвольной импульсной системы, как и для простейшей, которая описана в 3.1, не удается получить характеристику, аналогичную передаточной функции, которая связывает вход и выход во все моменты времени. Не удается получить подобной характеристики, которая связывает вход и выход и в дискретные моменты времени, кратные , что для простейшей импульсной системы сделать удалось (см. § 3.1). Это видно из соотношений соответственно (3.10), (3.12) и (3.11), (3.13).

Вывод 3. Для некоторых частных случаев соединений импульсных систем, например для импульсной системы, структурная схема которой представлена на рис. 3.5 (без пунктира), удается найти передаточную функцию, связывающую вход и выход в дискретные моменты времени, кратные . Действительно, из (3.10) при следует Но тогда [см. вывод формулы (3.7)]

Структура связи z-передаточной функции разомкнутой и замкнутой систем в данном случае такая же, как и в теории непрерывных систем.

Следует отметить, что это хотя и частный случай, но он имеет очень большое практическое значение, так как к нему приводятся многие системы из класса импульсных следящих систем.

Вывод 4. Для получения удобного выражения, аналогичного z-передаточной функции в случае произвольной импульсной системы (см., например, рис. 3.3), требуется вводить синхронные фиктивные ключи не только на выходе системы (см. пунктир на рис. 3.3), но и в других ее точках (см., например, штрихпунктирвый участок вместо сплошного на рис. 3.3). Тогда

и формулы (3.10), (3.11) примут соответственно такой вид:

и, следовательно,

Последствия от введения ключей, изображенных на рис. 3.3 штрихпунктиром и пунктиром, существенно различны, так как последний не меняет характера работы всей системы, он просто дает информацию о ней в дискретные моменты времени.

Первый же, преобразуя в импульсный тот непрерывный сигнал, который поступает на звено обратной связи, превращает исходную систему совсем в другую. Эта новая система достаточно хорошо сможет представлять работу исходной системы, если принять (см. § 5.4) и если

1) выполняются условия теоремы Котельникова (2.20);

2) полоса пропускания звена обратной связи меньше :

где - частота среза звена обратной связи;

3) амплитудная частотная характеристика (АЧХ) звена в районе частоты среза уменьшается достаточно круто (см. рис. 3.6).

Тогда через звено обратной связи проходит только та часть спектра импульсного сигнала , которая соответствует непрерывному сигналу .

Таким образом, формула (3.16) в общем случае только приближенно представляет работу исходной системы даже в дискретные моменты времени. Причем она делает это тем точнее, чем надежнее выполняются условия (2.20), (3.17) и условия крутого спада амплитудно-частотной характеристики для звена, нормальная работа которого нарушена фиктивным ключом.

Итак, с помощью z-преобразования можно точно исследовать работу чисто импульсной системы; с помощью преобразования Лапласа - точно исследовать работу непрерывной системы.

Импульсную систему с помощью одного (любого) из этих преобразований удается исследовать только приближенно, да и то при соблюдении некоторых условий. Причиной тому является наличие в импульсной системе как непрерывных, так и импульсных сигналов (поэтому такие импульсные системы являются непрерывноимпульсными и их иногда называют непрерывно-дискретными). В связи с этим преобразование Лапласа, удобное при оперировании с непрерывными сигналами, становится неудобным, когда дело доходит до дискретных сигналов. Удобное же для дискретных сигналов z-преобразование неудобно для непрерывных.

Так в данном случае проявляется отмеченный еще в апориях }