Поверхности и линии уровня. Поверхность разрыва Линии и поверхности разрыва

КОНСПЕКТ ЛЕКЦИЙ ПО МАТАНАЛИЗУ

Функции нескольких переменных. Геометрическое изображение функции двух переменных. Линии и поверхности уровня. Предел и непрерывность функции нескольких переменных, их свойства. Частные производные, их свойства и геометрический смысл.

Определение 1.1. Переменная z (с областью изменения Z ) называется функцией двух независимых переменных х,у в множестве М , если каждой паре (х,у ) из множества М z из Z .

Определение 1.2. Множество М , в котором заданы переменные х,у, называется областью определения функции , а сами х,у – ее аргументами .

Обозначения: z = f (x , y ), z = z (x , y ).

Примеры.

Замечание. Так как пару чисел (х,у ) можно считать координатами некоторой точки на плоскости, будем впоследствии использовать термин «точка» для пары аргументов функции двух переменных, а также для упорядоченного набора чисел
, являющихся аргументами функции нескольких переменных.

Определение 1.3. . Переменная z (с областью изменения Z ) называется функцией нескольких независимых переменных
в множествеМ , если каждому набору чисел
из множестваМ по некоторому правилу или закону ставится в соответствие одно определенное значение z из Z . Понятия аргументов и области определения вводятся так же, как для функции двух переменных.

Обозначения: z = f
,z = z
.

Геометрическое изображение функции двух переменных.

Рассмотрим функцию

z = f (x , y ) , (1.1)

определенную в некоторой области М на плоскости Оху . Тогда множество точек трехмерного пространства с координатами (x , y , z ) , где , является графиком функции двух переменных. Поскольку уравнение (1.1) определяет некоторую поверхность в трехмерном пространстве, она и будет геометрическим изображением рассматриваемой функции.

z = f(x,y)

M y

Замечание . Для функции трех и более переменных будем пользоваться термином «поверхность в n -мерном пространстве», хотя изобразить подобную поверхность невозможно.

Линии и поверхности уровня.

Для функции двух переменных, заданной уравнением (1.1), можно рассмотреть множество точек (х,у) плоскости Оху , для которых z принимает одно и то же постоянное значение, то есть z = const. Эти точки образуют на плоскости линию, называемую линией уровня .

Пример.

Найдем линии уровня для поверхности z = 4 – x ² - y ². Их уравнения имеют вид x ² + y ² = 4 – c (c =const) – уравнения концентрических окружностей с центром в начале координат и с радиусами
. Например, прис =0 получаем окружность x ² + y ² = 4 .

Для функции трех переменных u = u (x , y , z ) уравнение u (x , y , z ) = c определяет поверхность в трехмерном пространстве, которую называют поверхностью уровня .

Пример.

Для функции u = 3x + 5y – 7z –12 поверхностями уровня будет семейство параллельных плоскостей, задаваемых уравнениями

3x + 5y – 7z –12 + с = 0.

Предел и непрерывность функции нескольких переменных.

Введем понятие δ-окрестности точки М 0 (х 0 , у 0 ) на плоскости Оху как круга радиуса δ с центром в данной точке. Аналогично можно определить δ-окрестность в трехмерном пространстве как шар радиуса δ с центром в точке М 0 (х 0 , у 0 , z 0 ) . Для n -мерного пространства будем называть δ-окрестностью точки М 0 множество точек М с координатами
, удовлетворяющими условию

где
- координаты точкиМ 0 . Иногда это множество называют «шаром» в n -мерном пространстве.

Определение 1.4. Число А называется пределом функции нескольких переменных f
в точкеМ 0 , если

такое, что | f (M ) – A | < ε для любой точки М из δ-окрестности М 0 .

Обозначения:
.

Необходимо учитывать, что при этом точка М может приближаться к М 0 , условно говоря, по любой траектории внутри δ-окрестности точки М 0 . Поэтому следует отличать предел функции нескольких переменных в общем смысле от так называемых повторных пределов , получаемых последовательными предельными переходами по каждому аргументу в отдельности.

Примеры.

Замечание . Можно доказать, что из существования предела в данной точке в обычном смысле и существования в этой точке пределов по отдельным аргументам следует существование и равенство повторных пределов. Обратное утверждение неверно.

Определение 1.5. Функция f
называетсянепрерывной в точке М 0
, если
(1.2)

Если ввести обозначения

То условие (1.2) можно переписать в форме

(1.3)

Определение 1.6. Внутренняя точка М 0 области определения функции z = f (M ) называется точкой разрыва функции, если в этой точке не выполняются условия (1.2), (1.3).

Замечание. Множество точек разрыва может образовывать на плоскости или в пространстве линии или поверхности разрыва .

ЛИНИЯ РАЗРЫВА

Прямая, проведенная через точку разрыва параллельно линии боевого пути самолета.

Самойлов К. И. Морской словарь. - М.-Л.: Государственное Военно-морское Издательство НКВМФ Союза ССР , 1941

Смотреть что такое "ЛИНИЯ РАЗРЫВА" в других словарях:

См. Разрыв. Геологический словарь: в 2 х томах. М.: Недра. Под редакцией К. Н. Паффенгольца и др.. 1978 … Геологическая энциклопедия

линия разрыва - sprogimo linija statusas T sritis Gynyba apibrėžtis Tiesė, jungianti pabūklą su sprogimu. atitikmenys: angl. line of burst rus. линия разрыва … Artilerijos terminų žodynas

ЛИНИЯ СДВИГА ВЕТРА - линия разрыва ветра, граница между зонами с различными скоростями или направлением ветра … Словарь ветров

Находящаяся в плоскости кровли или подошвы пласта (слоя, жилы и др. геол. тел) или в плоскости разрыва. к линии простирания; направлена вниз по падению пласта (слоя, жилы) или плоскости разрыва. См. Падение. Геологический словарь: в 2 х томах. М … Геологическая энциклопедия

ЛИНИЯ - (1) общая часть двух смежных областей поверхности; (2) Л. автоматическая комплекс станков и машин, основного и вспомогательного оборудования, автоматически выполняющих в технологической последовательности и с заданным ритмом весь процесс… … Большая политехническая энциклопедия

Линия пересечения кровли или подошвы пласта (слоя, жилы и др. геол. тел) или плоскости разрыва с горизонтальной плоскостью. См. Простирание. Геологический словарь: в 2 х томах. М.: Недра. Под редакцией К. Н. Паффенгольца и др.. 1978 … Геологическая энциклопедия

Прямая линия, соединяющая точку разрыва с точкой сбрасывания. Самойлов К. И. Морской словарь. М. Л.: Государственное Военно морское Издательство НКВМФ Союза ССР, 1941 … Морской словарь

Эта статья или раздел статьи содержит информацию об ожидаемом событии или запланированном объекте инфраструктуры, связанном с метро. Содержание ста … Википедия

- (ВОЛП), Волоконно оптическая линия связи (ВОЛС) волоконно оптическая система, состоящая из пассивных и активных элементов, предназначенная для передачи информации в оптическом (как правило ближнем инфракрасном) диапазоне. Содержание 1 … Википедия

ПЕРЕЛОМЫ - ПЕРЕЛОМЫ, всякое полное нарушение целости твердого предмета (Wegner), в данном случае кости. П., являясь результатом наиболее тяжелых травм, составляют одну из самых серьезных глав травматологии. По статистике Брунса (London Hospital 300 000… … Большая медицинская энциклопедия

Книги

Литературная классика на экране. Ни шагу назад (4DVD) , Ершов Михаил Иванович, Столпер Александр, Егиазаров Гавриил Георгиевич. 1. БЛОКАДА. ЧАСТЬ 1 (1975 г., 2 фильма, 177 мин.) Киноэпопея по одноимённому роману Александра Чаковского. Награды ВКФ. К лету 1941 года фашистские захватчики подошли к Ленинграду. Только…

- ( ρ 1 , T 1 , v → 1 {\displaystyle \rho _{1},T_{1},{\vec {v}}_{1}} ), а справа - другие ( ρ 2 , T 2 , v → 2 {\displaystyle \rho _{2},T_{2},{\vec {v}}_{2}} ). При нестационарном движении среды поверхности разрыва не остаются неподвижными, их скорость может не совпадать со скоростью движения среды.

Физически произвольный разрыв не может существовать в течение конечного времени - это потребовало бы нарушения уравнений динамики. По этой причине, если в какой-то ситуации возникло состояние, описываемое произвольным разрывом, оно сразу же по возникновении начинает распадаться - см. задача Римана о распаде произвольного разрыва . При этом, в зависимости от того, в какой среде происходит явление, и как соотносятся между собой значения переменных состояния по разные стороны от разрыва, могут возникнуть различные комбинации нормальных разрывов и волн разрежения .

Условия

Ниже квадратными скобками обозначена разность величин по разные стороны поверхности

На поверхностях разрыва должны выполняться определенные соотношения:

На поверхности разрыва должен быть непрерывен поток вещества. Поток газа через элемент поверхности разрыва, отнесенный на единицу площади, должен быть одинаковым по величине по разные стороны от поверхности разрыва, то есть должно выполняться условие [ ρ u x ] = 0 {\displaystyle \left[\rho u_{x}\right]=0} Направление оси x {\displaystyle x} выбрано нормальным к поверхности разрыва.
Должен быть непрерывным поток энергии, то есть должно выполняться условие [ ρ u x (u 2 2 + ε) ] = 0 {\displaystyle \left[\rho u_{x}\left({\frac {u^{2}}{2}}+\varepsilon \right)\right]=0}
Должен быть непрерывен поток импульса, должны быть равны силы, с которыми действуют друг на друга газы по обеим сторонам поверхности разрыва. Так как вектор нормали направлен по оси x, то непрерывность x {\displaystyle x} -компоненты потока импульса приводит к условию [ p + ρ u x 2 ] = 0 {\displaystyle \left=0} [ ρ u x u y ] = 0 {\displaystyle \left[\rho u_{x}u_{y}\right]=0} и [ ρ u x u z ] = 0 {\displaystyle \left[\rho u_{x}u_{z}\right]=0}

Уравнения выше представляют полную систему граничных условий на поверхности разрыва. Из них можно сделать вывод о существовании двух типов поверхностей разрыва.

Тангенциальные разрывы

Через поверхность разрыва нет потока вещества

{ ρ 1 u 1 x = ρ 2 u 2 x = 0 ρ 1 , ρ 2 ≠ 0 ⇒ u 1 x = u 2 x = 0 ⇒ p 1 = p 2 {\displaystyle {\begin{cases}\rho _{1}u_{1x}=\rho _{2}u_{2x}=0\\\rho _{1},\rho _{2}\neq 0\end{cases}}\Rightarrow \qquad u_{1x}=u_{2x}=0\qquad \Rightarrow p_{1}=p_{2}}

Таким образом, на поверхности разрыва в этом случае непрерывны нормальная компонента скорости и давление газа. Тангенциальные скорости u z {\displaystyle u_{z}} , u y {\displaystyle u_{y}} и плотность могут испытывать произвольный скачок. Такие разрывы называются тангенциальными .

Контактные разрывы - частный случай тангенциальных разрывов. Скорость непрерывна. Плотность испытывает скачок, а с ней и другие термодинамические величины, за исключением давления.

Ударные волны

Во втором случае поток вещества, а с ним и величины отличны от нуля. Тогда из условий:

[ ρ u x ] = 0 ; [ ρ u x u y ] = 0 ; [ ρ u x u z ] = 0 {\displaystyle \left[\rho u_{x}\right]=0;\qquad \left[\rho u_{x}u_{y}\right]=0;\qquad \left[\rho u_{x}u_{z}\right]=0} [ u y ] = 0 {\displaystyle \left=0\quad } и [ u z ] = 0 {\displaystyle \quad \left=0}

тангенциальная скорость непрерывна на поверхности разрыва. Плотность, давление, а с ними и другие термодинамические величины испытывают скачок, причем скачки этих величин связаны соотношениями - условиями разрыва.

[ ρ u x (u 2 2 + ε) ] ; {\displaystyle \left[\rho u_{x}\left({\frac {u^{2}}{2}}+\varepsilon \right)\right];} [ u y ] = 0 ; {\displaystyle \left=0;} [ u z ] = 0 {\displaystyle \left=0} [ ρ u x ] = 0 ; [ u x 2 2 + ε ] = 0 ; [ p + ρ u x 2 ] = 0 {\displaystyle \left[\rho u_{x}\right]=0;\qquad \left[{\frac {u_{x}^{2}}{2}}+\varepsilon \right]=0;\qquad \left=0}

Разрывы этого типа называют ударными волнами .

Скорость распространения разрыва

Для вывода соотношений на движущихся разрывах можно воспользоваться уравнениями

{ ∮ ∂ Ω ⁡ (ρ d x − ρ u d t) = 0 ∮ ∂ Ω ⁡ (ρ u d x − (p + ρ u 2) d t) = 0 ∮ ∂ Ω ⁡ (E d x − (p + E) d t) = 0 {\displaystyle {\begin{cases}{\begin{array}{lll}\oint \limits _{\partial \Omega }(\rho \;d\,x-\rho u\;d\,t)&=&0\\\oint \limits _{\partial \Omega }(\rho u\;d\,x-(p+\rho u^{2})\;d\,t)&=&0\\\oint \limits _{\partial \Omega }(E\;d\,x-(p+E)\;d\,t)&=&0\\\end{array}}\end{cases}}} , ∮ ∂ Ω ⁡ (q d x − f d t) = 0 {\displaystyle \oint \limits _{\partial \Omega }(qdx-fdt)=0}

Газодинамический разрыв в одномерном нестационарном случае геометрически представляет собой кривую в плоскости. Построим контрольный объем возле разрыва так, чтобы две стороны контура, охватывающего этот объем, располагались параллельно разрыву по обеим сторонам разрыва, а две другие стороны были перпендикулярны разрыву. Записывая систему для данного контрольного объема, затем стягивая боковые стороны к нулю и пренебрегая величиной интеграла на этих сторонах, получим с учётом направления обхода контура и знаков приращений координат и вдоль сторон, примыкающих к разрыву:

∫ 1 − 2 (q d x − f d t) − ∫ 3 − 4 (q d x − f d t) = 0 {\displaystyle \int \limits _{1-2}(qdx-fdt)-\int \limits _{3-4}(qdx-fdt)=0} ∫ 1 − 2 (q d x d t − f) − ∫ 3 − 4 (q d x d t − f) = 0 {\displaystyle \int \limits _{1-2}(q{\frac {dx}{dt}}-f)-\int \limits _{3-4}(q{\frac {dx}{dt}}-f)=0}

Величина D = d x d t {\displaystyle D={\frac {dx}{dt}}} - скорость распространения разрыва

Соотношения на разрыве

Переходя к аппроксимациям интегралов по методу прямоугольников и используя обозначения для скачков величин на разрыве, получим систему соотношений:

[ ρ ] D − [ ρ u ] = 0 ; {\displaystyle \left[\rho \right]D-\left[\rho u\right]=0;} [ ρ u ] D − [ p + ρ u 2 ] = 0 ; {\displaystyle \left[\rho u\right]D-\left=0;} [ E ] D − [ u (E + p) ] = 0 ; {\displaystyle \leftD-\left=0;}

Примеры

Граница между двумя соударяющимися телами в момент соударения, в дальнейшем, в силу неустойчивости, произвольный разрыв распадается на два нормальных разрыва, движущихся в противоположные стороны.

Линии разрыва (fault). Данная операция позволяет отрисовать структурную линию, которая в каждой точке имеет две отметки. Такая структурная линия называется линией разрыва. Пример линии разрыва – подпорная стенка и бордюр (борт, для питерцев – поребрик:)). Подписать двойные отметки на бордюре можно специальной командой .

При вызове функции выводится диалоговое окно, где необходимо указать требуемые параметры.

При выборе "Брать фиксированное значение отметки" введите численное значение отметки.

При выборе "Брать по Поверхности" выберите из списка имя существующей поверхности.

Тип линии разрыва – левая или правая.

Совет. При установке флажка «Сохранять значение разности отметок» – отметка верха определяется таким образом: к отметке низа добавляется значение разности, и отметка верха становится нередактируемой. Если же необходимо ее отредактировать, то отключите флажок разностей и включите флажок этой отметки – она станет доступна для редактирования.

Значения отметок и разности можно контролировать и редактировать в диалоговом окне:

Это окно появляется после того, как на запрос программы "Введите первую точку или [оПции(P)]:" указана точка.

Запоминается, в каком из значений был ввод. При следующем вызове окна ввод начинается с запомненного поля.

Имеется возможность отключать отметку, которая неизвестна, – первый столбец флажков.

После ввода всей структурной линии неизвестные отметки рассчитываются исходя из значений известных отметок, если это возможно.

Последний столбец флажков – это базовая отметка для пересчета (имеет смысл привключенных слева флажках).

Если базовая отметка не изменяется, а изменяется одна из небазовых, то пересчитывается другая небазовая. А если базовая нижняя или верхняя и менять ее – меняется средняя; если базовая средняя и менять ее – по умолчанию меняется верхняя.

При выключении одного из флажков в первом столбце смысл базовой отметки теряется.

Имееется ряд радиокнопок, которые предлагают отметку для начального ввода. Если выбрана "Последняя", то предлагается последняя введенная отметка.

Линия разрыва – это специальный объект, геон. Смещение в плане между верхом и низом устанавливается в диалоговом окне "Установки поверхностей" в закладке "Установки структурных линий" в секции "Дополнительные параметры линий разрыва" с помощью параметра "Величина смещения линии разрыва при построении".

В конце отрисовки структурной линии сдвига появляется запрос-подтверждение такого вида:

"Укажите точкой сторону сдвига структурной линии <Линия разрыва (Правая)> или :".

Пользователь либо указывает сторону сдвига структурной линии точкой (для удобства ввода точки появляется резиновая линия от последней введенной точки структурной линии до указываемой точки), либо подтверждает тип сдвига, заданный первоначально (любой другой ввод).

При привязке (например, _Nea) привязка производится к низу структурной линии.

В структурную линию разрыва добавлены следующие возможности:

§ возможность привязки к верхней линии,

§ отображение стороны сдвига,

§ возможность задавать величину сдвига при построении поверхности (достаточно 0.01),

§ при команде _Explode она преобразовывается в две геолинии.

Поверхности слабых и сильных разрывов (, ч. II, гл. I, § 4). Разрывы сплошности (, §§ 18, 19).

Условия на поверхностях сильного разрыва в материальных средах и в электромагнитном поле (, гл. VII, §§ 4, 5; , § 35). Тангенциальные разрывы и ударные волны (, § 18, 19).

Гидростатика

Равновесие жидкости и газа в поле потенциальных массовых сил. Закон Архимеда. Равновесие и устойчивость плавающих тел и атмосферы (, VIII § 1; , ч. I, гл. III, §§ 1-4, 8).

Движение идеальной несжимаемой жидкости

Общая теория непрерывных потенциальных движений несжимаемой жидкости (, гл. VIII, § 12). Свойства гармонических функций (, гл. VIII, § 12). Многозначностъ потенциала в многосвязных областях (, ч. I, гл. I, § 18). Кинематическая задача о произвольном движении твердого тела в неограниченном объеме идеальной несжимаемой жидкости (, гл. VIII, § 14). Энергия, количество движения и момент количества движения жидкости при движении в ней твердого тела (, гл. VIII, § 15). Движение сферы в идеальной жидкости (, гл. VIII, § 13).

Силы воздействия идеальной жидкости на тело, движущееся в безграничной массе жидкости (, гл. VIII, § 16). Основы теории присоединенных масс (, гл. VIII, § 15). Парадокс Даламбера (, гл. VIII, §§ 8, 16).

Плоские движения идеальной жидкости. Функция тока. Применение методов теории аналитических функций комплексного переменного для решения плоских задач гидродинамики и аэродинамики (, ч. I, гл. III, §§ 11-16; , §§ 39, 40). Стационарное обтекание жидкостью цилиндра и профиля (, § 41). Формулы Чаплыгина и теорема Жуковского (, ч. I, гл. VI, §§ 5, 6; , § 44). Правило Жуковского и Чаплыгина определения циркуляции вокруг крыльев с острой задней кромкой (, ч. I, гл. VI, § 7; , § 41). Нестационарное обтекание профилей (, гл. I, §§ 1-5).

Плоские задачи о струйных течениях жидкости. Обтекание тел с отрывом струй. Схемы Кирхгофа, Эфроса и др. (, ч. I, гл. VI, § 16; , § 47; , гл. V, § 4).

Определение поля скоростей по заданным вихрям и источникам (, ч. I, гл. V, § 11; , гл. VIII, § 26). Формулы Био-Савара. Прямолинейный и кольцевой вихри (, ч. I, гл. V, §§ 12-15; , гл. VIII, § 27). Законы распределения давлений, силы, обуславливающие вынужденное движение прямолинейных вихрей в плоском потоке (, гл. VIII, § 28).

Постановка задачи и основные результаты теории крыла конечного размаха. Несущая линия и несущая поверхность (, гл. VII, § 27; , § 68).

Постановка задачи Коши-Пуассона о волнах на поверхности тяжелой несжимаемой жидкости (, ч. I, гл. VIII, §§ 2, 3; , § 24). Гармонические волны. Фазовая и групповая скорость. Дисперсия волн (, ч. I, гл. VII, § 8; , § 24; , §§ 11.1, 11.2, 11.4). Перенос энергии прогрессивными волнами (, ч. I, гл. VII, §§ 18-19; , § 11.6). Теория мелкой воды (, § 108; , § 13.10). Уравнения Буссинеска и Кортевега-де-Вриза. Нелинейные волны. Солитон (, §§ 13.11, 13.12; , § 24).

Движение вязкой жидкости. Теория пограничного слоя.

Турбулентность

Ламинарное движение несжимаемой вязкой жидкости. Течения Куэтта и Пуазейля (, ч. II, гл. II, §§ 11, 12; , гл. VIII, § 21). Течение вязкой жидкости в диффузоре (, гл. V, §§ 6, 9; гл. X, §§ 3, 4; , § 23). Диффузия вихря (, гл. VIII, § 30).

Приближения Стокса и Озеена. Задача о движении сферы в вязкой жидкости в постановке Стокса (, ч. II, гл. II, §§ 23, 25; , гл. VIII, § 20; , § 20).

Ламинарный пограничный слой (, гл. VIII, § 23; , гл. VII, § 1). Задача Блазиуса (, гл. VIII, § 24; , гл. VII, § 5). Интегральные соотношения и основанные на их использовании приближенные методы в теории ламинарного пограничного слоя (, § 89). Явление отрыва пограничного слоя (, § 86; , §§ 39, 40; , гл. VII, § 2). Устойчивость пограничного слоя (, § 41; , гл. XVI, §§ 2, 3). Теплообмен с потоком на основе теории пограничного слоя (, гл. VI, § 2; §§ 114-116; , гл. XII, §§ 1, 4).

Турбулентность (, § 95). Опыт Рейнольдса. Уравнения Рейнольдса (, гл. VIII, § 22). Турбулентный перенос тепла и вещества (, §§ 97, 98). Полуэмпирические теории турбулентности (, § 98; , гл. XIX, §§ 2-4; (, гл. III, § 4).). Профиль скорости в пограничном слое. Логарифмический закон (, § 120; , гл. XIX, § 5). Прямое численное решение уравнений гидромеханики при наличии турбулентности ().