Переходные и импульсные характеристики rl цепи. Импульсная характеристика цепи. Особенности импульсных конструкций
18. Реакция линейных цепей на единичные функции. Переходная и импульсная характеристики цепи, их связь.
Единичная ступенчатая функция (функция включения) 1 (t) определяется следующим образом:
График функции 1 (t) показан на рис. 2.1.
Функция 1 (t) равна нулю при всех отрицательных значениях аргумента и единице при t ³ 0 . Введем в рассмотрение также смещенную единичную ступенчатую функцию
Такое воздействие включается в момент времени t = t ..
Напряжение в виде единичной ступенчатой функции на входе цепи будет при подключении источника постоянного напряжения U 0 =1 В при t = 0 с помощью идеального ключа (рис. 2.3).
Единичная импульсная функция (d - функция, функция Дирака) определяется как производная от единичной ступенчатой функции. Поскольку в момент времени t = 0 функция 1 (t ) претерпевает разрыв, то ее производная не существует (обращается в бесконечность). Таким образом, единичная импульсная функция
Это особая функция или математическая абстракция, но ее широко используют при анализе электрических и других физических объектов. Подобного рода функции рассматриваются в математической теории обобщенных функций.
Воздействие в виде единичной импульсной функции можно рассматривать как ударное воздействие (достаточно большая амплитуда и бесконечно малое время воздействия). Вводится также единичная импульсная функция, смещенная на время t = t
Единичную импульсную функцию принято графически изображать в виде вертикальной стрелки при t = 0, а смещенную при - t = t (рис. 2.4).
Если взять интеграл от единичной импульсной функции, т.е. определить площадь, ограниченную ею, то получим следующий результат:
Рис.
2.4.
Очевидно, что интервал интегрирования может быть любым, лишь бы туда попала точка t = 0. Интеграл от смещенной единичной импульсной функции d (t-t ) также равен 1 (если в пределы интегрирования попадает точка t = t). Если взять интеграл от единичной импульсной функции умноженной на некоторый коэффициент А 0 , то очевидно результат интегрирования будет равен этому коэффициенту. Следовательно, коэффициент А 0 перед d (t ) определяет площадь, ограниченную функцией А 0 d (t ).
Для физической интерпретации d - функции целесообразно ее рассматривать как предел, к которому стремиться некоторая последовательность обычных функции, например
Переходная и импульсная характеристики
Переходной характеристикой h(t) называется реакция цепи на воздействие в виде единичной ступенчатой функции 1 (t ). Импульсной характеристикой g(t) называется реакция цепи на воздействие в виде единичной импульсной функции d (t ). Обе характеристики определяются при нулевых начальных условиях.
Переходная и импульсная функции характеризуют цепь в переходном режиме, так как они являются реакциями на скачкообразные, т.е. довольно тяжелые для любой системы воздействия. Кроме того, как будет показано ниже с помощью переходной и импульсной характеристик может быть определена реакция цепи на произвольное воздействие. Переходная и импульсная характеристики связаны между собой также как связаны между собой соответствующие воздействия. Единичная импульсная функция является производной от единичной ступенчатой функции (см. (2.2)), поэтому импульсная характеристика является производной от переходной характеристики и при h (0) = 0 . (2.3)
Это утверждение следует из общих свойств линейных систем, которые описываются линейными дифференциальными уравнениями, в частности, если к линейной цепи с нулевыми начальными условиями вместо воздействия прикладывается его производная, то реакция будет равна производной от исходной реакции.
Из двух рассматриваемых характеристик наиболее просто определяется переходная, так как она может быть вычислена по реакции цепи на включение на входе источника постоянного напряжения или тока. Если такая реакция известна, то для получения h(t) достаточно разделить ее на амплитуду входного постоянного воздействия. Отсюда следует, что переходная (также как и импульсная) характеристика может иметь размерность сопротивления, проводимости или быть безразмерной величиной в зависимости от размерности воздействия и реакции.
Пример . Определить переходную h(t) и импульсную g (t ) характеристики последовательной RC-цепи.
Воздействием является входное напряжение u 1 (t ), а реакцией - напряжение на емкости u 2 (t ). Согласно определению переходной характеристики ее следует определять как напряжение на выходе, когда на вход цепи подключается источник постоянного напряжения U 0
Такая
задача была решена в разделе 1.6, где
получено u
2
(t
)
= u
C
(t
)
=
Таким
образом,h(t)
= u
2
(t
)
/ U
0
=
Импульсную
характеристику определим по (2.3)
.
Министерство образования и науки Украины
Донецкий Национальный Университет
Доклад
на тему: Радиотехнические цепи и сигналы
Студента 3 курса дневного отделения НФ-3
Разработал студент:
Александрович С. В.
Проверил преподаватель:
Долбещенков В. В.
ВВЕДЕНИЕ
"Радиотехнические цепи и сигналы" (РТЦ и С) – курс, являющийся продолжением курса "Основы теории цепей". Его целью является изучение фундаментальных закономерностей, связанных с получением сигналов, их передачей по каналам связи, обработкой и преобразованием в радиотехнических цепях. Излагаемые в курсе "РТЦ и С" методы анализа сигналов и радиотехнических цепей используют математические и физические сведения, в основном известные студентам из предшествующих дисциплин. Важная задача курса "РТЦ и С" – научить студентов выбирать математический аппарат, адекватный встретившейся проблеме, показать, как работает этот аппарат при решении конкретных задач в области радиотехники. Не менее важно научить студентов видеть тесную связь математического описания с физической стороной рассматриваемого явления, уметь составлять математические модели изучаемых процессов.
Основные разделы, изучаемые в курсе "Радиотехнические цепи и сигналы":
1. Временной анализ цепей на основе свертки;
2. Спектральный анализ сигналов;
3. Радиосигналы с амплитудной, угловой модуляцией;
4. Корреляционный анализ сигналов;
5. Активные линейные цепи;
6. Анализ прохождения сигналов через узкополосные цепи;
7. Отрицательная обратная связь в линейных цепях;
8. Синтез фильтров;
9. Нелинейные цепи и методы их анализа;
10. Цепи с переменными параметрами;
11. Принципы генерирования гармонических колебаний;
12. Принципы обработки сигналов дискретного времени;
13. Случайные сигналы;
14. Анализ прохождения случайных сигналов через линейные цепи;
15. Анализ прохождения случайных сигналов через нелинейные цепи;
16. Оптимальная фильтрация детерминированных сигналов в шумах;
17. Оптимальная фильтрация случайных сигналов;
18. Численные методы расчета линейных цепей.
ВРЕМЕННОЙ АНАЛИЗ ЦЕПЕЙ НА ОСНОВЕ СВЕРТКИ
Переходная и импульсная характеристика
В основе временного метода лежит понятие переходной и импульсной характеристик цепи. Переходной характеристикой цепи называют реакцию цепи на воздействие в форме единичной функции. Обозначается переходная характеристика цепи g (t ). Импульсной характеристикой цепи называют реакцию цепи на воздействие единичной импульсной функции (d-функции). Обозначается импульсная характеристика h (t ). Причем, g (t ) и h (t )определяются при нулевых начальных условиях в цепи. В зависимости от типа реакции и типа воздействия (ток или напряжение) переходные и импульсные характеристики могут быть безразмерными величинами, либо имеют размерность А/В или В/А.
Использование понятий переходной и импульсной характеристик цепи позволяет свести расчет реакции цепи от действия непериодического сигнала произвольной формы к определению реакции цепи на простейшее воздействие типа единичной 1(t ) или импульсной функции d(t ), с помощью которых аппроксимируется исходный сигнал. При этом результирующая реакция линейной цепи находится (с использованием принципа наложения) как сумма реакций цепи на элементарные воздействия 1(t ) или d(t ).
Между переходной g (t ) и импульсной h (t ) характеристиками линейной пассивной цепи существует определенная связь. Ее можно установить, если представить единичную импульсную функцию через предельный переход разности двух единичных функций величины 1/t, сдвинутых друг относительно друга на время t:
т. е. единичная импульсная функция равна производной единичной функции. Так как рассматриваемая цепь предполагается линейной, то соотношение сохраняется и для импульсных и переходных реакций цепи
т. е. импульсная характеристика является производной от переходной характеристики цепи.
Уравнение справедливо для случая, когда g (0) = 0 (нулевые начальные условия для цепи). Если же g (0) ¹ 0, то представив g (t ) в виде g (t ) = , где = 0, получим уравнение связи для этого случая:
Для нахождения переходных и импульсных характеристик цепи можно использовать как классический, так и операторный методы. Сущность классического метода состоит в определении временной реакции цепи (в форме напряжения или тока в отдельных ветвях цепи) на воздействие единичной 1(t ) или импульсной d(t ) функции. Обычно классическим методом удобно определять переходную характеристику g (t ), а импульсную характеристику h (t ) находить с помощью уравнений связи или операторным методом.
Следует отметить, что величина I (р ) в уравнении численно равна изображению переходной проводимости. Аналогичное изображение импульсной характеристики численно равно операторной проводимости цепи
Например, для RС -цепи имеем:
Применив к Y (p ) теорему разложения, получим:
В табл. 1.1 сведены значения переходной и импульсных характеристик по току и напряжению для некоторых цепей первого и второго порядка.
Импульс является функцией без какой-либо поддержки времени. С дифференциальными уравнениями используется для получения естественного отклика системы. Естественным ее ответом является реакция на начальное состояние. Форсированный отклик системы - это ответ на вход, пренебрегая ее первичным формированием.
Поскольку импульсная функция не имеет какой-либо поддержки времени, можно описать любое начальное состояние, возникающее из соответствующей взвешенной величины, которая равна массе тела, произведенной на скорость. Любая произвольная входная переменная может быть описана как сумма взвешенных импульсов. В результате, для линейной системы описывается как сумма «естественных» ответов на состояния, представленные рассматриваемыми величинами. Это то, что объясняет интеграл.
Когда вычисляется импульсная характеристика системы, по существу, производится естественный отклик. Если исследуется сумма или интеграл свертки, в основном решается этот вход в ряд состояний, а затем изначально сформированный ответ на эти состояния. Практически для импульсной функции можно привести пример удара в боксе, который длится очень мало, и после этого не будет следующего. Математически он присутствует только в начальной точке реалистической системы, имеющей высокую (бесконечную) амплитуду в этом пункте, а затем постоянно гаснет.
Импульсная функция определяется следующим образом: F(X)=∞∞ x=0=00, где ответ представляет собой характеристику системы. Рассматриваемая функция на самом деле является областью прямоугольного импульса при x=0, ширина которого считается равной нулю. При x=0 высоты h и его ширины 1/h это фактическое начало. Теперь, если ширина становится незначительной, то есть почти стремится к нулю, это делает соответствующую высоту h величины, стремящейся к бесконечности. Это определяет функцию как бесконечно высокую.
Ответ конструкции
Импульсная характеристика следующая: всякий раз, когда системе (блоку) или процессору присваивается входной сигнал, он изменяет или обрабатывает его, чтобы дать желаемое выходное предупреждение в зависимости от функции передачи. Отклик системы помогает определить основные положения, конструкцию и реакцию для любого звука. Дельта-функция является обобщенной, которая может быть определена как предел класса указанных последовательностей. Если принимать импульсного сигнала, то разумеется, что оно является спектром постоянного тока в частотной области. Это означает, что все гармоники (в диапазоне от частоты до +бесконечности) способствуют рассматриваемому сигналу. Спектр частотной характеристики указывает, что эта система обеспечивает такой порядок усиления или ослабления этой частоты или подавляет эти колеблющиеся составляющие. Фазовый говорит о сдвиге, предоставляемом для разных гармоник частоты.
Таким образом, импульсные характеристики сигнала указывают на то, что он содержит в себе весь диапазон частот, поэтому используется для тестирования системы. Потому что, если применять какой-либо другой метод оповещения, то у него не будет всех необходимых сконструированных деталей, следовательно, реакция останется неизвестной.
Реакция устройств на внешние факторы
При обработке оповещения импульсная характеристика представляет собой ее выход, когда он представлен кратким входным сигналом, называемым импульсом. В более общем плане является реакцией любой динамической системы в ответ на некоторые внешние изменения. В обоих случаях импульсная характеристика описывает функцию времени (или, возможно, как некоторой другой независимой переменной, которая параметризирует динамическое поведение). Она имеет бесконечную амплитуду только при t=0 и нулевую всюду, и, как следует из названия, ее импульс i, e действует в течение короткого промежутка.
При применении любая система имеет функцию передачи от входа к выходу, которая описывает ее как фильтр, влияющий на фазу и указанную выше величину в частотном диапазоне. Эта частотная характеристика с использованием импульсных методов, измеренная или рассчитанная в цифровом виде. Во всех случаях динамическая система и ее характеристика могут быть реальными физическими объектами или математическими уравнениями, описывающими такие элементы.
Математическое описание импульсов
Поскольку рассматриваемая функция содержит все частоты, критерии и описание определяют отклик линейной временной инвариантной конструкции для всех величин. Математически как описывается импульс, зависит от того, смоделирована ли система дискретным или непрерывным временем. Его можно моделировать как дельта-функцию Дирака для систем непрерывного времени или как величину Кронекера для конструкции с прерывным действием. Первая представляет собой предельный случай импульса, который был очень коротким по времени, сохраняя свою площадь или интеграл (тем самым давая бесконечно высокий пик). Хотя это невозможно в любой реальной системе, это полезная идеализация. В теории анализа Фурье такой импульс содержит равные части всех возможных частот возбуждения, что делает его удобным тестовым зондом.
Любая система в большом классе, известная как линейная, инвариантная по времени (LTI), полностью описывается импульсной характеристикой. То есть для любого входа выход можно рассчитать в терминах ввода и непосредственной концепции рассматриваемой величины. Импульсное описание линейного преобразования представляет собой образ дельта-функции Дирака при преобразовании, аналогичный фундаментальному решению дифференциального оператора с частными производными.
Особенности импульсных конструкций
Обычно проще анализировать системы, используя передаточные импульсные характеристики, а не ответы. Рассматриваемая величина представляет собой преобразование Лапласа. Усовершенствование ученым выходного сигнала системы может быть определено умножением передаточной функции на это действие ввода в комплексной плоскости, также известной как частотная область. Обратное преобразование Лапласа этого результата даст выход во временной области.
Для определения выхода непосредственно во временной области требуется свертка входа с импульсной характеристикой. Когда передаточная функция и преобразование Лапласа ввода известны. Математическая операция, применяющаяся на двух элементах и реализующая третий, может быть более сложной. Некоторые предпочитают альтернативу - умножение двух функций в частотной области.
Реальное применение импульсной характеристики
В практических системах невозможно создать идеальный импульс для ввода данных для тестирования. Поэтому короткий сигнал иногда используется в качестве приближения величины. При условии, что импульс достаточно короткий, по сравнению с откликом, результат будет близок к истинному, теоретическому. Однако во многих системах вхождение с очень коротким сильным импульсом может привести конструкцию в нелинейный режим. Поэтому вместо этого она управляется псевдослучайной последовательностью. Таким образом, импульсная переходная характеристика рассчитывается из входных и выходных сигналов. Отклик, рассматриваемый как функция Грина, можно рассматривать как «влияние» - как точка входа влияет на выход.
Характеристики импульсных устройств
Колонки являются приложением, которое демонстрирует саму идею (была разработка тестирования импульсного отклика в 1970-х годах). Громкоговорители страдают от неточности фазы, дефекта, в отличие от других измеренных свойств, таких как частотная характеристика. Этот недоработанный критерий вызван (слегка) задержанными колебаниями/октавами, которые в основном являются результатом пассивных кросс-передач (особенно фильтров более высокого порядка). Но также вызваны резонансом, внутренним объемом или вибрированием панелей корпуса. Отклик - конечная импульсная характеристика. Его измерение обеспечило инструмент для использования в уменьшении резонансов за счет применения улучшенных материалов для конусов и корпусов, а также изменения кроссовера динамиков. Необходимость ограничить амплитуду для поддержания линейности системы привела к использованию входов, таких как псевдослучайные последовательности максимальной длины, и к помощи компьютерной обработки для получения остальных сведений и данных.
Электронное изменение
Анализ импульсного отклика является основным аспектом радиолокации, ультразвуковой визуализации и многих областей цифровой обработки сигналов. Интересным примером могут быть широкополосные интернет-соединения. DSL-услуги используют методы адаптивного выравнивания, чтобы помочь компенсировать искажения и помехи сигнала, введенные медными телефонными линиями, используемыми для доставки услуги. В их основе лежат устаревшие цепи, импульсная характеристика которых оставляет желать лучшего. На смену пришли модернизированные покрытия для использования Интернета, телевидения и других устройств. Эти усовершенствованные конструкции способны улучшать качество, особенно с учетом того, что современный мир - это сплошное интернет-соединение.
Системы контроля
В теории управления импульсная характеристика представляет собой отклик системы на вход дельта Дирака. Это полезно при анализе динамических конструкций. Преобразование Лапласа дельта-функции равно единице. Поэтому импульсная характеристика эквивалентна обратному преобразованию Лапласа передаточной функции системы и фильтру.
Акустические и звуковые приложения
Здесь импульсные ответы позволяют записывать звуковые характеристики местоположения, например, концертного зала. Доступны различные пакеты, содержащие оповещения от конкретных мест, от небольших комнат до крупных концертных залов. Эти импульсные отклики могут затем использоваться в приложениях реверберации свертки, чтобы позволить акустическим характеристикам конкретного местоположения применяться к целевому звуку. То есть по факту происходит анализ, разделение различных оповещений и акустики через фильтр. Импульсная характеристика в данном случае способна дать возможность выбора пользователю.
Финансовая составляющая
В современном макроэкономическом моделировании функции импульсного ответа используются для описания того, как она реагирует со временем на экзогенные величины, которые научные исследователи обычно называют потрясениями. И часто имитируются в контексте векторной авторегрессии. Импульсы, которые часто считаются экзогенными, с макроэкономической точки зрения включают изменения в государственных расходах, ставках налогов и других параметрах финансовой политики, изменения денежной базы или других параметров капитала и кредитной политики, перемены производительности или других технологических параметров; преобразование в предпочтениях, такие как степень нетерпения. Функции импульсного отклика описывают реакцию эндогенных макроэкономических переменных, таких как выход, потребление, инвестиции и занятость во время шока и в последующие моменты времени.
Конкретнее об импульсе
По существу дела, ток и импульсная характеристика взаимосвязаны. Потому что каждый сигнал может быть смоделирован как серия. Это происходит ввиду наличия определенных переменных и электричества или генератора. Если система является как линейной, так и временной, реакция прибора на каждый из откликов может быть вычислена с использованием рефлексов рассматриваемой величины.
Импульсная
(весовая) характеристика или импульсная
функция
цепи
–
это ее обобщенная характеристика,
являющаяся временной функцией, численно
равная реакции цепи на единичное
импульсное воздействие на ее входе при
нулевых начальных условиях (рис. 13.14);
другими словами, это отклик цепи,
свободной от начального запаса энергии
на дельта-функцию Дирана 
на ее входе.
|
|
Функцию 
можно определить, рассчитав переходную
или передаточную 
функцию цепи.
Расчет функции 
с использованием переходной функции
цепи. Пусть при входном воздействии 
реакцией линейной электрической цепи
является 
.
Тогда в силу линейности цепи при входном
воздействии, равном производной 
,
реакция цепи будет равна производной
.
Как отмечалось,
при 
,
реакция цепи 
,
а если 
,
то реакция цепи будет 
,
т.е. импульсная функция
Согласно свойству
выборки 
произведение
.
Таким образом, импульсная функция цепи
.
(13.8)
Если 
,
то импульсная функция имеет вид
.
(13.9)
Следовательно, размерность импульсной характеристики равна размерности переходной характеристики, поделенной на время.
Расчет функции 
с использованием передаточной функции
цепи. Согласно выражению (13.6), при
воздействии на вход функции 
,
откликом функции будет переходная
функция 
вида:
.
С другой стороны,
известно, что изображение производной
функции по времени 
,
при 
,
равно произведению 
.
Откуда 
,
или 
,
(13.10)
т.е. импульсная
характеристика
цепи равна обратному преобразованию
Лапласа ее передаточной
функции.
Пример. Найдем импульсную функцию цепи, схемы замещения которой представлены на рис. 13.12, а ; 13.13.
Решение
Переходная и передаточная функции этой цепи били получены ранее:
Тогда, согласно выражению (13.8)
где 
.
|
|
График импульсной
характеристики 
цепи представлен на рис. 13.15.
Выводы
Импульсная
характеристика 
введена по тем же двум причинам, что и
переходная характеристика 
.
1. Единичное
импульсное воздействие 
– скачкообразное и потому довольно
тяжелое для любой системы или цепи
внешнее воздействие. Следовательно,
важно знать реакцию системы или цепи
именно при таком воздействии, т.е.
импульсную характеристику 
.
2. При помощи
некоторого видоизменения интеграла
Дюамеля можно, зная
вычислить реакцию системы или цепи на
любое внешнее возмущение (см. далее пп.
13.4, 13.5).
4. Интеграл наложения (дюамеля).
Пусть произвольный
пассивный двухполюсник (рис. 13.16, а
)
подключается к источнику непрерывно
изменяющегося с момента
напряжения
(рис. 13.16,б
).
|
|
Требуется найти
ток
(или напряжение) в любой ветви двухполюсника
после замыкания ключа.
Задачу решим в два
этапа. Сначала искомую величину найдем
при включении двухполюсника на единичный
скачок напряжения, который задается
единичной ступенчатой функцией
.
Известно, что
реакцией цепи на единичный скачок
является переходная
характеристика (функция)
.
Например, для
–
цепи переходная функция по току
(см. п.2.1), для
–
цепи переходная функция по напряжению
.
На втором этапе
непрерывно изменяющееся напряжение
заменим ступенчатой функцией с
элементарными прямоугольными скачками
(см. рис. 13.16б
).
Тогда процесс изменения напряжения
можно представить как включение при
постоянного напряжения
,
а затем как включение элементарных
постоянных напряжений
,
смещенных относительно друг друга на
интервалы времени
и имеющих знак плюс для возрастающей и
минус для падающей ветви заданной кривой
напряжения.
Составляющая
искомого тока в момент
от постоянного напряжения
равна:
.
Составляющая
искомого тока от элементарного скачка
напряжения
,
включаемого в момент времени
равна:
.
Здесь аргументом
переходной функции является время
,
поскольку элементарный скачок напряжения
начинает действовать на время
позднее замыкания ключа или, иначе
говоря, поскольку промежуток времени
между моментом
начала действия этого скачка и моментом
времени
равен
.
Элементарный скачок напряжения
,
где
– масштабный коэффициент.
Поэтому искомая составляющая тока
Элементарные
скачки напряжения включаются на интервале
времени от
до момента
,
для которого определяется искомый ток.
Поэтому, суммируя составляющие тока от
всех скачков, переходя к пределу при
,
и учитывая составляющую тока от начального
скачка напряжения
,
получаем:
Последняя формула для определения тока при непрерывном изменении приложенного напряжения
(13.11)
называется интегралом наложения (суперпозиции) или интегралом Дюамеля (первой формой записи этого интеграла).
Аналогично решается
задача при подключении цепи и источнику
тока. Согласно этому интегралу реакция
цепи, в общем виде,
в некоторый момент
после
начала воздействия
определяется всей той частью воздействия,
которая имела место до момента времени
.
Заменой переменных и интегрированием по частям можно получить другие формы записи интеграла Дюамеля, эквивалентные выражению (13.11):
Выбор формы записи
интеграла Дюамеля определяется удобством
расчета. Например, в случае, если
выражается экспоненциальной функцией,
удобной оказывается формула (13.13) или
(13.14), что обуславливается простотой
дифференцирования экспоненциальной
функции.
При
или
удобно применять форму записи, в которой
слагаемое перед интегралом обращается
в нуль.
Произвольное
воздействие
может быть представлено также в виде
суммы последовательно включаемых
импульсов, как это изображено на рис.
13.17.
|
|
При бесконечно
малой длительности импульсов
получим формулы интеграла Дюамеля,
аналогичные (13.13) и (13.14).
Эти же формулы
можно получить из соотношений (13.13) и
(13.14), заменив а них производную функцию
импульсной функцией
.
Вывод.
Таким образом, на
основе формул интеграла Дюамеля (13.11) –
(13.16) и временных характеристик цепи
и
могут быть определены временные функции
откликов цепи
на произвольные воздействия
.
Академия России
Кафедра Физики
Лекция
Переходные и импульсные характеристики электрических цепей
Орел 2009
Учебные и воспитательные цели:
Разъяснить слушателям сущность переходной и импульсной характеристик электрических цепей, показать связь между характеристиками, обратить внимание на применение рассматриваемых характеристик для анализа и синтеза ЭЦ, нацелить на качественную подготовку к практическому занятию.
Распределение времени лекции
Вступительная часть……………………………………………………5 мин.
Учебные вопросы:
1. Переходные характеристики электрических цепей………………15 мин.
2. Интегралы Дюамеля………………………………………………...25 мин.
3. Импульсные характеристики электрических цепей. Связь между характеристиками………………………………………….………...25 мин.
4. Интегралы свертки………………………………………………….15 мин.
Заключение……………………………………………………………5 мин.
1. Переходные характеристики электрических цепей
Переходная характеристика цепи (как и импульсная) относится к временным характеристикам цепи, т. е. выражает некоторый переходный процесс при заранее установленных воздействиях и начальных условиях.
Для сравнения электрических цепей по их реакции к этим воздействиям, необходимо цепи поставить в одинаковые условия. Наиболее простыми и удобными являются нулевые начальные условия.
Переходной характеристикой цепи называют отношение реакции цепи на ступенчатое воздействие к величине этого воздействия при нулевых начальных условиях.
По определению ,
где – реакция цепи на ступенчатое воздействие;
– величина ступенчатого воздействия [В] или [А].
Так как и делится на величину воздействия (это вещественное число), то фактически – реакция цепи на единичное ступенчатое воздействие.
Если переходная характеристика цепи известна (или может быть вычислена), то из формулы можно найти реакцию этой цепи на ступенчатое воздействие при нулевых НУ
.
Установим связь между операторной передаточной функцией цепи, которая часто известна (или может быть найдена), и переходной характеристикой этой цепи. Для этого используем введенное понятие операторной передаточной функции:
.
Отношение преобразованной по Лапласу реакции цепи к величине воздействия представляет собой операторную переходную характеристику цепи:
Следовательно .
Отсюда находится операторная переходная характеристика цепи по операторной передаточной функции.
Для определения переходной характеристики цепи необходимо применить обратное преобразование Лапласа:
воспользовавшись таблицей соответствий или (предварительно) теоремой разложения.
Пример: определить переходную характеристику для реакции напряжение на емкости в последовательной -цепи (рис. 1):
Здесь реакция на ступенчатое воздействие величиной :
,
откуда переходная характеристика:
.
Переходные характеристики наиболее часто встречающихся цепей найдены и даны в справочной литературе.
2. Интегралы Дюамеля
Переходную характеристику часто используют для нахождения реакции цепи на сложное воздействие. Установим эти соотношения.
Условимся, что воздействие является непрерывной функцией и подводится к цепи в момент времени , а начальные условия – нулевые.
Заданное воздействие можно представить как сумму ступенчатого воздействия приложенного к цепи в момент и бесконечно большого числа бесконечно малых ступенчатых воздействий, непрерывно следующих друг за другом. Одно из таких элементарных воздействий, соответствующих моменту приложения показано на рисунке 2.
Найдем значение реакции цепи в некоторый момент времени .
Ступенчатое воздействие с перепадом к моменту времени обуславливает реакцию, равную произведению перепада на значение переходной характеристики цепи при , т. е. равную:
Бесконечно малое же ступенчатое воздействие с перепадом , обуславливает бесконечно малую реакцию 
, где есть время, прошедшее от момента приложения воздействия до момента наблюдения. Так как по условию функция непрерывна, то:
В соответствии с принципом наложения реакции будет равна сумме реакций, обусловленных совокупностью воздействий, предшествующих моменту наблюдения , т. е.
.
Обычно в последней формуле заменяют просто на , поскольку найденная формула верна при любых значениях времени :
.
Или, после несложных преобразований:
.
Любое из этих соотношений и решает задачу вычисления реакции линейной электрической цепи на заданное непрерывное воздействие по известной переходной характеристики цепи . Эти соотношения называют интегралами Дюамеля.
3. Импульсные характеристики электрических цепей
Импульсной характеристикой цепи называют отношение реакции цепи на импульсное воздействие к площади этого воздействия при нулевых начальных условиях.
По определению ,
где – реакция цепи на импульсное воздействие;
– площадь импульса воздействия.
По известной импульсной характеристике цепи можно найти реакцию цепи на заданное воздействие: 
.
В качестве функции воздействия часто используется единичное импульсное воздействие называемое также дельта-функцией или функцией Дирака.
Дельта-функция – это функция всюду равная нулю, кроме , а площадь ее равна единице ():
.
К понятию дельта-функция можно прийти, рассматривая предел прямоугольного импульса высотой и длительностью , когда (рис. 3):
Установим связь между передаточной функцией цепи и ее импульсной характеристикой, для чего используем операторный метод.
По определению:
.
Если воздействие (оригинал) рассматривать для наиболее общего случая в виде произведения площади импульса на дельта-функцию, т. е. в виде , то изображение этого воздействия согласно таблицы соответствий имеет вид:
.
Тогда с другой стороны, отношение преобразованной по Лапласу реакции цепи к величине площади импульса воздействия, представляет собой операторную импульсную характеристику цепи:
.
Следовательно, .
Для нахождения импульсной характеристики цепи необходимо применить обратное преобразование Лапласа:
Т. е. фактически .
Обобщая формулы, получим связь между операторной передаточной функцией цепи и операторными переходной и импульсной характеристиками цепи:
Таким образом, зная одну из характеристик цепи, можно определить любые другие.
Произведем тождественное преобразование равенства, прибавив к средней части .
Тогда будем иметь .
Поскольку представляет собой изображение производной переходной характеристики, то исходное равенство можно переписать в виде:
Переходя в область оригиналов, получаем формулу, позволяющую определить импульсную характеристику цепи по известной ее переходной характеристике:
Если , то .
Обратное соотношение между указанными характеристиками имеет вид:
.
По передаточной функции легко установить наличие в составе функции слагаемого .
Если степени числителя и знаменателя одинаковы, то рассматриваемое слагаемое будет присутствовать. Если же функция является правильной дробью, то этого слагаемого не будет.
Пример: определить импульсные характеристики для напряжений и в последовательной -цепи, показанной на рисунке 4.
Определим :
По таблице соответствий перейдем к оригиналу:
.
График этой функции показан на рисунке 5.
Рис. 5
Передаточная функция :
Согласно таблице соответствий имеем:
.
График полученной функции показан на рисунке 6.
Укажем, что такие же выражения можно было получить с помощью соотношений, устанавливающих связь между и .
Импульсная характеристика по физическому смыслу отражает собой процесс свободных колебаний и по этой причине можно утверждать, что в реальных цепях всегда должно выполняться условие:
4. Интегралы свертки (наложения)
Рассмотрим порядок определения реакции линейной электрической цепи на сложное воздействие, если известна импульсная характеристика этой цепи . Будем считать, что воздействие представляет собой кусочно-непрерывную функцию , показанную на рисунке 7.
Пусть требуется найти значение реакции в некоторый момент времени . Решая эту задачу, представим воздействие в виде суммы прямоугольных импульсов бесконечно малой длительности, один из которых, соответствующий моменту времени , показан на рисунке 7. Этот импульс характеризуется длительностью и высотой .
Из ранее рассмотренного материала известно, что реакцию цепи на короткий импульс можно считать равной произведению импульсной характеристики цепи на площадь импульсного воздействия. Следовательно, бесконечно малая составляющая реакции, обусловленная этим импульсным воздействием, в момент времени будет равной:
поскольку площадь импульса равна , а от момента его приложения до момента наблюдения проходит время .
Используя принцип наложения, полную реакцию цепи можно определить как сумму бесконечно большого числа бесконечно малых составляющих , вызванных последовательностью бесконечно малых по площади импульсных воздействий, предшествующих моменту времени .
Таким образом:
.
Эта формула верна для любых значений , поэтому обычно переменную обозначают просто . Тогда:
.
Полученное соотношение называют интегралом свертки или интегралом наложения. Функцию , которая находится в результате вычисления интеграла свертки, называют сверткой и .
Можно найти другую форму интеграла свертки, если в полученном выражении для осуществить замену переменных:
.
Пример: найти напряжение на емкости последовательной -цепи (рис. 8), если на входе действует экспоненциальный импульс вида:
Воспользуемся интегралом свертки:
.
Выражение для 
было получено ранее.
Следовательно, 
, и 
.
Такой же результат можно получить, применив интеграл Дюамеля.
Литература:
Белецкий А. Ф. Теория линейных электрических цепей. – М.: Радио и связь, 1986. (Учебник)
Бакалов В. П. и др. Теория электрических цепей. – М.: Радио и связь, 1998. (Учебник);
Качанов Н. С. и др. Линейные радиотехнические устройства. М.: Воен. издат., 1974. (Учебник);
Попов В. П. Основы теории цепей – М.: Высшая школа, 2000.(Учебник)
