Основы цифровой обработки сигнала. Вопрос. Радиотехнические сигналы. Классификация. Виды сигналов, используемых в системах радиосвязи Спектральный анализ интегрируемых сигналов

Термин “сигнал” часто встречается не только в научно-технических вопросах, но и в повседневной жизни. Иногда, не задумываясь о строгости терминологии, мы отождествляем такие понятия, как сигнал, сообщение, информация. Обычно это не приводит к недоразумениям, поскольку “сигнал” происходит от латинского термина “signum” - ”знак”, имеющий широкий смысловой диапазон. Сигналы представляют собой физические средства, передающие сообщения. Поскольку электрические сигналы наиболее удобны, их передача используется во многих сферах деятельности человека .

Тем не менее, приступая к систематическому изучению теоретической радиоэлектроники, следует по возможности уточнить содержательный смысл понятия “сигнал”. В соответствии с принятой традицией сигналом называют процесс изменения во времени физического состояния какого-либо объекта, который служит для отображения, регистрации и передачи сообщений.

Круг вопросов, базирующихся на понятиях “сообщение”, ”информация”, весьма широк. Он является объектом пристального внимания инженеров, математиков, лингвистов, философов.

Приступая к изучению каких-либо объектов или явлений, в науке всегда стремятся провести их предварительную классификацию.

Сигналы можно описать посредством математических моделей. Для того чтобы сделать сигналы объектом теоретического изучения и расчетов, следует указать способ их математического описания, т.е. создать математическую модель исследуемого сигнала. Математической моделью сигнала может быть, например, функциональная зависимость, аргументом которой является время.

Создание модели (в данном случае физического сигнала) - первый существенный шаг на пути систематического изучения свойства явления. Прежде всего, математическая модель позволяет абстрагироваться от конкретной природы носителя сигнала. В радиотехнике одна и та же математическая модель с равным успехом описывает ток, напряжение, напряженность электромагнитного поля и т.д.

Существенная сторона абстрактного метода, базирующегося на понятии математической модели, заключена в том, что мы получаем возможность описывать именно те свойства сигналов, которые объективно выступают как определяюще важные. При этом игнорируется большое число второстепенных признаков. Например, в подавляющем большинстве случаев крайне затруднительно подобрать точные функциональные зависимости, которые соответствовали бы электрическим колебаниям, наблюдаемым экспериментально. Поэтому исследователь, руководствуясь всей совокупностью доступных ему сведений, выбирает из наличного арсенала математических моделей сигналов те, которые в конкретной ситуации наилучшим и самым простым образом описывают физический процесс. Итак, выбор модели - процесс в значительной степени творческий.

Зная математические модели сигналов, можно сравнивать эти сигналы между собой, устанавливать их тождество и различие, проводить классификацию.

С информационной точки зрения, детерминированные сигналы не содержат информации, но зато могут служить удобными моделями для изучения временных и спектральных свойств сигналов.

Реальные сигналы, содержащие информацию, выступают как случайные. Но математические модели таких сигналов чрезвычайно сложны и неудобны для изучения временных спектральных свойств сигналов.

Детерминированные сигналы делят на управляющие (низкочастотные) и радиосигналы (высокочастотные колебания). Управляющие сигналы появляются в месте возникновения информации (сигналы различных датчиков) и могут быть разделены на периодические и непериодические. Настоящая работа посвящена моделированию временных и спектральных свойств периодических сигналов.

При анализе периодических сигналов широкое распространение получило представление их по системам ортогональных функций, например, Уолша, Чебышева, Лаггера, синуса и косинуса и других.

Наибольшее распространение получила ортогональная система основных тригонометрических функций - синусов и косинусов кратных аргументов. Это объясняется рядом причин. Во-первых, гармоническое колебание является единственной функцией времени, сохраняющей свою форму при прохождении через любую линейную цепь (с постоянными параметрами). Изменяется лишь амплитуда и фаза колебания. Во-вторых, разложение сложного сигнала по синусам и по косинусам позволяет использовать символический метод, разработанный для анализа передачи гармонических колебаний через линейные цепи. По этим, а также и по некоторым другим причинам, гармонический анализ получил широкое распространение во всех отраслях современной науки и техники.

Если такой сигнал представлен в виде суммы гармонических колебаний с различными частотами, то говорят, что осуществлено спектральное разложение этого сигнала. Отдельные гармонические компоненты сигнала представляют его спектр. Спектральная диаграмма периодического сигнала - это графическое изображение коэффициентов ряда Фурье для конкретного сигнала. Различают амплитудные и фазовые спектральные диаграммы, т.е. модули и аргументы комплексных коэффициентов ряда Фурье, которые полностью определяют структуру частотного спектра периодического колебания.

Особо интересуются амплитудной диаграммой, которая позволяет судить о процентном содержании тех или иных гармоник в спектре периодического сигнала .

.
Основы цифровой обработки сигнала (ОЦОС).

Преподаватель: Кузнецов Вадим Вадимович

Https://github.com/ra3xdh/DSP-RPD

Https://github.com/ra3xdh/RTUiS-labs

Вопрос. Радиотехнические сигналы. Классификация.

Сигналом называют процесс изменения во времени физического состояния какого-либо объекта, который служит для отображения, регистрации и передаче сообщений.

Сигналами могут быть напряжение, ток, напряженность поля. В большинстве случаев носителями радиотехнических сигналов являются электромагнитные колебания. Математической моделью сигнала обычно служит функциональная зависимость аргументом которой является время (зависимость напряжения в цепи от времени). Для детерминированных сигналов на основании математической модели можно узнать мгновенное значение сигнала в любой момент времени. Примером детерминированного сигнала является синусоидальное напряжение, f=50Гц w=314с^-1.

Импульсные сигналы существуют только в пределах конечного отрезка времени. Примеры импульсных сигналов: видеоимпульс (рис. 2а) и радиоимпульс (рис.2б).

Если физический процесс порождающий сигнал развивается во времени таким образом, что его можно измерять в любые моменты времени, то сигналы такого класса называют аналоговым. Аналоговый сигнал можно представить графиком его изменения во времени , то есть осциллограммой.

Дискретные сигналы описываются совокупностью отсчетов через равные промежутки времени. Пример дискретного сигнала показан на рисунке 3.

Цифровые сигналы являются особой разновидностью дискретных. Отсчетные значения представляются в виде чисел. Обычно используются двоичные числа с некоторой размерностью. Пример цифрового сигнала приведен в таблице 1.

Аналоговые сигналы.

Периодический сигнал S(t), период Т обладает следующим свойством: S(t)=S(t±nT) n=1,2,.. Пример периодического сигнала показан на рисунке 4.

Период сигнала связан с частотой f и круговой частотой w следующим соотношением: f=1/T=w/2π. Другие примеры периодических сигналов показаны на рисунке 5.

Вопрос. Модулированный сигнал. Основы модуляции.

Для передачи низкочастотным сигналов, например звуковых, по радиоканалу применяются модулированные сигналы. Прямая передача низкочастотного сигнала по радиоканалу невозможна, так как длинна волны для низких частот слишком большая и аппаратура для передачи такой волны будет громоздкой.

В модулированном сигнале амплитуда, частота и фаза синусоидального ВЧ сигнала изменяется в такт с НЧ. НЧ сигнал накладывается на несущий.

1. Амплитудная модуляция (АМ).

S(t) - звуковой сигнал, - РЧ сигнал, несущая, М - коэффициент модуляции.

Пример модулированного сигнала показан на рисунке 6.

2. Частотная модуляция (ЧМ:FM). Амплитуда несущий остается неизменной, а в такт с модулируемым сигналом изменяется частота несущей.

Осциллограмма частотно-модулированного сигнала показана на рисунке 7.

3. Фазовая модуляция (ФМ:PM). . осциллограмма ФМ сигнала показана на рисунке 8.

Во время положительного полупериода фаза модулированные колебания опережают по фазе колебания несущей частоты, при этом период колебаний уменьшается, и частота увеличивается. Во время отрицательного периода модулирующего напряжения фаза модулированного колебания отстает по фазе от колебаний несущей частоты. Таким образом ФМ является одновременно и ЧМ. Для ЧМ справедливо обратное суждение: частотная модуляция является одновременно фазовой модуляцией. ФМ применяется в профессиональной радиосвязи.

Сигма и дельта функции.

Сигма функция задается следующим выражением:

Дельта функция – импульс бесконечно большой амплитуды и бесконечно малой длительности. (рис. 10).

Дельта-функция является производной от сигма-функции.

Если сигнал, задаваемый непрерывной функцией умножить на дельта-функции и проинтегрировать во времени , то результатом будет мгновенное значение сигнала в точке, где сосредоточен дельта-импульс.

Из фильтрующих свойств дельта-функции следует схема измерителя мгновенного значения сигнала.

Сигма и дельта функции применяются для анализа прохождения аналоговой и цифровых сигналов через линейные системы. Отклик системы, ели на нее подан дельта-импульс, называется импульсной характеристикой системы H(t).

Вопрос. Мощности и энергии сигнала.

Мощность выделяющаяся на резисторе сопротивлением R, если к нему приложено напряжение u определяется как W=(u^2)/R.

Если к резистору приложено не постоянное напряжение, а переменный сигнал s(t), то мощность так же будет переменной (мгновенная мощность).

В теории сигналов обычно полагают, что R=1. w=s(t) ^2. Чтобы найти энергию сигнала необходимо проинтегрировать мощность по всему диапазону;

Для бесконечных во времени сигналов среднюю мощность можно определить следующим образом:

W=[Вт], E=[(В^2)*c]

Именно такая энергия выделяется на резисторе сопротивлением 1 ом, если к нему приложено напряжение s(t).

Если сигнал излучается на некотором интервале T, то рассматривается средняя мощность сигнала.

Спектральный анализ сигналов.

Вопрос. Разложение аналогового сигнала в ряд Фурье.

Разложение в ряд Фурье заключается в представление периодического сигнала в виде суммы синусоидальных сигналов.

Пример представления пилообразного сигнала в виде суммы синусоидальных сигналов с различной амплитудой и фазой представлен на рис. 12.

Введем основную частоту периодического сигнала с периодом T: w_1=2pi/T. Периодический сигнал при разложении в ряд Фурье представляется в виде суммы синусоидальных сигналов или гармоник, с частотами кратными основной частоте: 2w_1, 3w_1... Амплитуды этих сигналов называются коэффициентами разложения. Ряд Фурье записывается в виде суммы гармоник:

Вещественная форма ряда Фурье:

Используя известную форму записи из курса электротехники в виде комплексного числа , ряд Фурье представляется в виде:

В данное выражение входят гармоники с отрицательными частотами. Отрицательная частота – это не физическое понятие, она связана со способом представления комплексных чисел. Так как сумма гармоник должна быть действительным числом, то каждой гармонике соответствует комплексно сопряженная гармоника с –ω. По абсолютному значению амплитуды гармоники с положительными и отрицательными частотами равны.

Вопрос. Спектральные диаграммы.

Спектральные диаграммы – графики, изображающие коэффициенты ряда Фурье в вещественной форме.

Различают амплитудные и фазовые спектральные диаграммы. По горизонтальной оси откладывают частоты гармоник, по вертикали – амплитуды (фазы). Если изображен модуль ряда Фурье в комплексной форме, то по оси Х откладывают положительную и отрицательную круговую частоту ω.

Пример спектра аналогового периодического сигнала. (ШИМ)

Рассмотрим последовательность прямоугольных импульсов с периодом Т, длительностью τ и амплитудой А.

Скважность.

Осциллограмма такого сигнала оказана на рисунке 13.

Постоянная составляющая прямоугольного сигнала.

b n = 0.

Спектральная диаграмма для последовательности прямоугольных импульсов показана на рис. 14.

Из спектра диаграммы видно, что с увеличением скважности уменьшается длительность импульса. Последовательность прямоугольных импульсов имеет более богатый спектральный состав, в спектре присутствуют больше гармоник и больше амплитуд. Таким образом, сокращение длительности импульса приводит к расширению спектра. Сигналы с широким спектром могут создавать помехи.

Вычисление ряда Фурье производится с помощью математических пакетов.

Преобразование Фурье.

Применяется для расширения области допустимых сигналов.

Различают прямое и обратное преобразование.

Вопрос. Прямое преобразование (переход от сигнала к спектру).

Разложение в ряд Фурье позволяет получить спектр только для периодических сигналов. Преобразование Фурье расширяет область применения спектрального анализа на непериодические сигналы.

Пусть s(t) – одиночный импульсный сигнал конечной длительности. Дополним его таким же, периодически следующим сигналом, с периодом Т. Получим последовательность импульсов (рис.15).

Чтобы перейти к преобразованию Фурье и найти спектр одиночного импульса необходимо найти предельный вид ряда Фурье в комплексной форме при

Расчет спектра:

Физический смыл спектральной плотности состоит в том, что она является коэффициентом пропорциональности между длинной малого интервала частот Δf в близи частоты f 0 и амплитуды гармонического сигнала с частотой f 0 . Сигнал s(t) как бы складывается из множества разных синусоидальных сигналов малой амплитуды. Спектр плотности показывает вклад в сигнал элементарных синусоидальных сигналов каждой частоты.

Спектр плотности вероятности является комплексным числом и отображается кривой на комплексной плоскости.

Действительное число – амплитудный спектр

Спектр мощности

Фазовый спектр

Свойства преобразования Фурье

Линейность – спектр суммы нескольких сигналов умножить на постоянные коэффициенты равен сумме этих сигналов. Если амплитуда сигнала меняется в А раз, то его спектральная плотность тоже меняется в А раз.

Свойство вещественной и мнимой частей спектра. Вещественная часть спектра, то есть амплитудный спектр – четный функция частоты. Амплитудный спектр симметричен относительно нулевой частоты. Мнимая часть спектра – нечетная функция частоты. Фазовый спектр антисимметричен относительно нулевой частоты.

Смещение сигнала во времени. При смещении сигнала во времени амплитудный спектр не меняется, а фазовый спектр смещается по фазе.

Спектр произведения сигналов равен свертке спектров и наоборот.

Свойство применяется для отыскания сигнала на выходе , если известна АЧХ.

Линейная система и сигналы на ее входе и выходе показаны на рисунке 20.

Спектр дельта функции.

В спектре дельта-импульса содержатся все частоты от 0 до .

Спектр производной и интеграла.

Дифференциация сигналов приведет к расширению спектра, интегрирование – к сжатию (рис.21).

Связь с рядами Фурье.

Комплексная амплитуда к-ой гармоники ряда Фурье связана со спектральной плотностью так:

Зная преобразование для одного периода периодического сигнала можно вычислить его разложение в ряд Фурье.

Пример вычисления спектра импульсного сигнала.

Вычислим спектр прямоугольного видео импульса с амплитудой и длительностью . Импульс расположен симметрично относительно начала отсчета (рис. 22).

Переходим от круговой частоты к частоте f.

Амплитудный спектр показан на (рис 23).

Фазовый спектр показан на (рис 24).

Спектр мощности показан на (рис 25).

Вопрос. Обратное преобразование Фурье.

Служит для нахождения сигнала по спектру.

Условие существования спектральной плотности сигнала.

Спектральный анализ интегрируемых сигналов.

Сигнал можно сопоставить спектральную плотность если сигнал абсолютно интегрирован.

К абсолютно интегрированному сигналу не относятся гармонические колебания и постоянный ток.

Примеры абсолютно интегрируемых и неинтегрируемых сигналов на (рис. 16).

Спектры таких сигналов представляются через дельта-функции.

Спектр сигнала постоянного уровня А представляет собой дельта-импульс, расположенный на нулевой частоте ().

Физический смысл данного выражения – сигнал, постоянный по модулю и по времени имеет постоянную составляющую только на нулевой частоте.

Спектр синусоидального сигнала.

Любой периодический сигнал можно представить рядом Фурье в комплексной форме, то есть в виде суммы синусоидальных сигналов.

Спектры постоянного тока, синусоидального и периодического сигнала показаны на (рис. 17).

На анализаторе спектра спектр периодического сигнала будет наблюдаться в виде последовательности остроконечных импульсов. Амплитуды данных импульсов пропорциональны амплитудам гармоник. Типичный вид спектра представлен на (рис. 18).

Спектральный анализ можно применять и к случайным сигналам. Для них рассматривается спектр мощности . Для примера рассмотрим белый шум (рис. 1).

Таким образом, сигналом называется физический процесс, параметры которого содержат информацию (сообщение) и который пригоден для обработки и передачи на расстояние.

Одномерные и многомерные сигналы. Типичным для радиотехники сигналом является напряжение на зажимах какой либо цепи или ток в ветви. Такой сигнал, описываемый одной функцией времени, принято называть одномерным.

Однако иногда удобно вводить в рассмотрение многомерные, или векторные, сигналы вида

образованные некоторым множеством одномерных сигналов. Целое число N называют размерностью такого сигнала.

Отметим, что многомерный сигнал - упорядоченная совокупность одномерных сигналов. Поэтому в общем случае сигналы с различным порядком следования компонент не равны друг другу.

Аналоговые, дискретные и цифровые сигналы . Заканчивая краткий обзор принципов классификации радиотехнических сигналов, отметим следующее. Часто физический процесс, порождающий сигнал, развивается во времени таким образом, что значения сигнала можно измерять в любые моменты времени. Сигналы этого класса принято называть аналоговыми (континуальными). Термин «аналоговый сигнал» подчеркивает, что такой сигнал «аналогичен», полностью подобен порождающему его физическому процессу.

Одномерный аналоговый сигнал наглядно представляется своим графиком (осциллограммой), который может быть как непрерывным, так и с точками разрыва..

Многомерные модели сигналов особенно полезны в тех случаях, когда функционирование сложных систем анализируется с помощью ЭВМ.

Детерминированные и случайные сигналы. Другой принцип классификации радиотехнических сигналов основан на возможности или невозможности точного предсказания их мгновенных значений в любые моменты времени.

Если математическая модель сигнала позволяет осуществить такое предсказание, то сигнал называется детерминированным. Способы его задания могут быть разнообразными - математическая формула, вычислительный алгоритм, наконец, словесное описание.

Аналоговые (непрерывные), дискретные и цифровые сигналы . Часто физический процесс, порождающий сигнал, развивается во времени таким образом, что значения сигнала можно измерять в любые моменты времени. Сигналы этого класса принято называть аналоговыми (континуальными). Термин «аналоговый сигнал» подчеркивает, что такой сигнал «аналогичен», полностью подобен порождающему его физическому процессу.

Одномерный аналоговый сигнал наглядно представляется своим графиком (осциллограммой), который может быть как непрерывным, так и с точками разрыва.

Первоначально в радиотехнике использовались сигналы исключительно аналогового типа. Такие сигналы позволяли с успехом решать относительно несложные технические задачи (радиосвязь, телевидение и т. д.). Аналоговые сигналы было просто генерировать, принимать и обрабатывать с помощью доступных в те годы средств.

Возросшие требования к радиотехническим системам, разнообразие применений заставили искать новые принципы их построения. На смену аналоговым в ряде случаев пришли импульсные системы, работа которых основана на использовании дискретных сигналов. Простейшая математическая модель дискретного сигнала - это счетное множество точек ( - целое число) на оси времени, в каждой из которых определено отсчетное значение сигнала . Как правило, шаг дискретизации для каждого сигнала постоянен.

Одно из преимуществ дискретных сигналов по сравнению с аналоговыми - отсутствие необходимости воспроизводить сигнал непрерывно во все моменты времени. За счет этого появляется возможность по одной и той же радиолинии передавать сообщения от разных источников, организуя многоканальную связь с разделением каналов по времени.

Интуитивно ясно, что быстро изменяющиеся во времени аналоговые сигналы для их дискретизации требуют малого шага .

Особой разновидностью дискретных сигналов являются цифровые сигналы. Для них характерно то, что отсчетные значения представлены в форме чисел. По соображениям технических удобств реализации и обработки обычно используют двоичные числа с ограниченным и, как правило, не слишком большим числом разрядов. В последнее время наметилась тенденция к широкому внедрению систем с цифровыми сигналами. Это связано со значительными успехами, достигнутыми микроэлектроникой и интегральной схемотехникой.

Строго говоря, детерминированных сигналов, равно как и отвечающих им детерминированных процессов, не существует. Неизбежное взаимодействие системы с окружающими ее физическими объектами, наличие хаотических тепловых флуктуации и просто неполнота знаний о начальном состоянии системы - все это заставляет рассматривать реальные сигналы как случайные функции времени.

В радиотехнике случайные сигналы часто проявляют себя как помехи, препятствующие извлечению информации из принятого колебания. Проблема борьбы с помехами, повышение помехоустойчивости радиоприема - одна из центральных проблем радиотехники.

Может показаться, что понятие «случайный сигнал» противоречиво. Однако это не так. Например, сигнал на выходе приемника радиотелескопа, направленного на источник космического излучения, представляет собой хаотические колебания, несущие, однако, разнообразную информацию о природном объекте.

Между детерминированными и случайными сигналами нет непреодолимой границы. Очень часто в условиях, когда уровень помех значительно меньше уровня полезного сигнала с известной формой, более простая детерминированная модель оказывается вполне адекватной поставленной задаче.

Глава 1 Элементы обшей теории радиотехнических сигналов

Термин «сигнал» часто встречается не только в научно-технических вопросах, но и в повседневной жизни. Иногда, не задумываясь о строгости терминологии, мы отождествляем такие понятия, как сигнал, сообщение, информация. Обычно это не приводит к недоразумениям, поскольку слово «сигнал» происходит от латинского термина «signum» - «знак», имеющего широкий смысловой диапазон.

Тем не менее, приступая к систематическому изучению теоретической радиотехники, следует по возможности уточнить содержательный смысл понятия «сигнал». В соответствии с принятой традицией сигналом называют процесс изменения во времени физического состояния какого-либо объекта, служащий для отображения, регистрации и передачи сообщений. В практике человеческой деятельности сообщения неразрывно связаны с заключенной в них информацией.

Круг вопросов, базирующихся на понятиях «сообщение» и «информация», весьма широк. Он является объектом пристального внимания инженеров, математиков, лингвистов, философов. В 40-х- годах К. Шеннон завершил первоначальный этап разработки глубокого научного направления - теории информации.

Следует сказать, что упомянутые здесь проблемы, как правило, далеко выходят за рамки курса «Радиотехнические цепи и сигналы». Поэтому в этой книге не будет излагаться связь, которая существует между физическим обликом сигнала и смыслом заключенного в нем сообщения. Тем более не будет обсуждаться вопрос о ценности информации, заключенной в сообщении и в конечном счете в сигнале.

1.1. Классификация радиотехнических сигналов

Приступая к изучению каких-либо новых объектов или явлений, в науке всегда стремятся провести их предварительную классификацию. Ниже такая попытка предпринята применительно к сигналам.

Основная цель - выработка критериев классификации, а также, что очень важно для последующего, установление определенной терминологии.

Описание сигналов посредством математических моделей.

Сигналы как физические процессы можно изучать с помощью различных приборов и устройств - электронных осциллографов, вольтметров, приемников. Такой эмпирический метод имеет существенный недостаток. Явления, наблюдаемые экспериментатором, всегда выступают как частные, единичные проявления, лишенные той степени обобщенности, которая позволила бы судить об их фундаментальных свойствах, предсказывать результаты в изменившихся условиях.

Для того чтобы сделать сигналы объектами теоретического изучения и расчетов, - следует указать способ их математического описания или, говоря языком современной наукн, создать математическую модель исследуемого сигнала.

Математической моделью сигнала может быть, например, функциональная зависимость, аргументом которой является время. Как правило, в дальнейшем такие математические модели сигналов будут обозначаться символами латинского алфавита s(t), u(t), f(t) и т.д.

Создание модели (в данном случае физического сигнала) - первый существенный шаг на пути систематического изучения свойства явления. Прежде всего математическая модель позволяет абстрагироваться от конкретной природы носителя сигнала. В радиотехнике одна и та же математическая модель с равным успехом описывает ток, напряжение, напряженность электромагнитного поля и т. д.

Функции, описывающие сигналы, могут принимать как вещественные, так и комплексные значения. Поэтому в дальнейшем часто будем говорить о вещественных и комплексных сигналах. Использование того или другого принципа - дело математического удобства.

Одномерные и многомерные сигналы.

Типичным для радиотехники сигналом является напряжение на зажимах какой-либо цепи или ток в ветви.

Такой сигнал, описываемый одной функцией времени, принято называть одномерным. В этой книге чаще всего будут изучаться одномерные сигналы. Однако иногда удобно вводить в рассмотрение многомерные, или векторные, сигналы вида

образованные некоторым множеством одномерных сигналов. Целое число N называют размерностью такого сигнала (терминология заимствована из линейной алгебры).

Многомерным сигналом служит, например, система напряжений на зажимах многополюсника.

Детерминированные и случайные сигналы.

Другой принцип классификации радиотехнических сигналов основан на возможности или невозможности точного предсказания их мгновенных значений в любые моменты времени.

Строго говоря, детерминированных сигналов, равно как и отвечающих им детерминированных процессов, не существует. Неизбежное взаимодействие системы с окружающими ее физическими объектами, наличие хаотических тепловых флуктуаций и просто неполнота знаний о начальном состоянии системы - все это заставляет рассматривать реальные сигналы как случайные функции времени.

В радиотехнике случайные сигналы часто проявляют себя как помехи, препятствующие извлечению йнформации из принятого колебания. Проблема борьбы с помехами, повышение помехоустойчивости радиоприема - одна из центральных проблем радиотехники.

Может показаться, что понятие «случайный сигнал» противоречиво. Однако Это не так. Например, сигнал на выходе приемника радиотелескопа, направленного на источник космического излучения, представляет собой хаотические колебания, несущие, однако, разнообразную информацию о природном объекте.

Между детерминированными и случайными сигналами нет непреодолимой границы.

Очень часто в условиях, когда уровень помех значительно меньше уровня полезного сигнала с известной формой, более простая детерминированная модель оказывается вполне адекватной поставленной задаче.

Методы статистической радиотехники, развитые в последние десятилетия для анализа свойств случайных сигналов, имеют много специфических черт и базируются на математическом аппарате теории вероятностей и теории случайных процессов. Этому кругу вопросов будет целиком посвящен ряд глав настоящей книги.

Импульсные сигналы.

Очень важный для радиотехники класс сигналов представляют собой импульсы, т. е. колебания, существующие лишь в пределах конечного отрезка времени. При этом различают видеоимпульсы (рис. 1.1, а) и радиоимпульсы (рис. 1.1,б). Различие между этими двумя основными видами импульсов состоит в следующем. Если - видеоимпульс, то соответствующий ему радиоимпульс (частота и начальная произвольны). При этом функция называется огибающей радиоимпульса, а функция - его заполнением.

Рис. 1.1. Импульсные сигналы и их характеристики: а - видеоимпульс, б - радиоимпульс; в - определение числовых параметров импульса

В технических расчетах вместо полной математической модели, которая учитывает подробности «тонкой структуры» импульса, часто пользуются числовыми параметрами, дающими упрощенное представление о его форме. Так, для видеоимпульса, близкого но форме к трапеции (рис. 1.1, в), принято определять его амплитуду (высоту) А. Из временных параметров указывают длительность импульса длительность фронта и длительность среза

В радиотехнике имеют дело с импульсами напряжения, амплитуды которых лежат в пределах от долей микровольта до нескольких киловольт, а длительности достигают долей наносекунды.

Аналоговые, дискретные и цифровые сигналы.

Заканчивая краткий обзор принципов классификации радиотехнических сигналов, отметим следующее. Часто физический процесс, порождающий сигнал, развивается во времени таким образом, что значения сигнала можно измерять в. любые моменты времени. Сигналы этого класса принято Называть аналоговыми (континуальными).

Термин «аналоговый сигнал» подчеркивает, чтодакой сигнал «аналогичен», полностью подобен порождающему его физическому процессу.

Возросшие требования к радиотехническим системам, разнообразие применений заставили искать новые принципы их построения. На смену аналоговым в ряде случаев пришли импульсные системы, работа которых основана на использовании дискретных сигналов. Простейшая математическая модель дискретного сигнала - это счетное множество точек - целое число) на оси времени, в каждой из которых определено отсчетное значение сигнала . Как правило, шаг дискретизации для каждого сигнала постоянен.

Интуитивно ясно, что быстро изменяющиеся во времени аналоговые сигналы для их дискретизации требуют малого шага . В гл. 5 этот фундаментально важный вопрос будет подробно исследован.

Следует иметь в виду, что в сущности любой дискретный или цифровой сигнал (речь идет о сигнале - физическом процессе, а не о математической модели) является сигналом аналоговым. Так, медленно изменяющемуся во времени аналоговому сигналу можно сопоставить его дискретный образ, имеющий вид последовательности прямоугольйых видеоимпульсов одинаковой длительности (рис. 1.2, а); высота этнх импульсов пропорциональна значениям в отсчетных точках. Однако можно поступить и по иному, сохраняя высоту импульсов постоянной, но изменяя их длительность в соответствии с текущими отсчетными значениями (рис. 1.2, б).

Рис. 1.2. Дискретизация аналогового сигнала: а - при переменной амплитуде; б - при переменной длительности отсчетных импульсов

Оба представленных здесь сцособа дискретизации аналогового сигнала становятся эквивалентными, если положить, что значения аналогового сигнала в точках дискретизации пропорциональны площади отдельных видеоимпульсов.

Фиксирование отсчетных значений в виде чисел осуществляется также путем отображения последних в виде последовательности видеоимпульсов. Двоичная система счисления идеально приспособлена для этой процедуры. Можно, например, сопоставить единице высокий, а нулю - низкий уровень потенциала, f Дискретные сигналы и их свойства будут детально изучаться в гл. 15.

PAGE 24

РОСТОВСКИЙ ТЕХНОЛОГИЧЕСКИЙ ИНСТИТУТ

СЕРВИСА И ТУРИЗМА

________________________________________________________________

Кафедра Радиоэлектроника

Лазаренко С.В.

ЛЕКЦИЯ № 1

по дисциплине “Радиотехнические цепи и сигналы”

Ростов-на-Дону

2010

ЛЕКЦИЯ 1

ВВЕДЕНИЕ. ОСНОВНЫЕ ХАРАКТЕРИСТИКИ СИГНАЛОВ

По дисциплине РАДИОТЕХНИЧЕСКИЕ ЦЕПИ И СИГНАЛЫ

Время: 2 часа

Изучаемые вопросы: 1. Предмет, цель и задачи курса

2. Краткий обзор курса, связь с другими дисциплинами

3. Краткая история развития дисциплины

4. Общая методика работы над курсом, виды занятий,

формы отчетности, учебная литература

5 Энергетические характеристики сигнала

6 Корреляционные характеристики детерминированных сигналов

7 Геометрические методы в теории сигналов

8 Теория ортогональных сигналов. Обобщенный ряд Фурье

В данной лекции реализуются следующие элементы квалификационной характеристики:

Студент должен знать основные законы, принципы и методы анализа электрических цепей, а также методы моделирования электрических цепей, схем и устройств.

Студент должен владеть приемами выполнения расчетов цепей в установившемся и переходном режимах.

1. ПРЕДМЕТ И ЗАДАЧИ КУРСА

Предметом изучения дисциплины РАДИОТЕХНИЧЕСКИЕ ЦЕПИ И СИГНАЛЫ являются электромагнитные процессы в линейных и нелинейных радиотехнических цепях, методы расчета цепей в установившемся и переходном режимах, непрерывные и дискретные сигналы и их характеристики.

От практики дисциплина берет объекты исследования - типовые цепи и сигналы, от физики - ее законы электромагнитного поля, от математики - аппарат исследования.

Целью изучения дисциплины является привитие студентам навыка расчета простейших радиотехнических цепей и ознакомление их с современными алгоритмами оптимальной обработки сигналов.

В результате изучения дисциплины каждый студент должен

ИМЕТЬ ПРЕДСТАВЛЕНИЕ:

О современных алгоритмах оптимальной обработки сигналов;

О тенденциях развития теории радиотехнических цепей и сигналов,

ЗНАТЬ:

Классификацию радиотехнических сигналов;

Временные и спектральные характеристики детерминированных сигналов;

Случайные сигналы, их характеристики, корреляционный и спектральный анализ случайных сигналов;

Дискретные сигналы и их характеристики;

Алгоритмы цифровой обработки сигналов,

УМЕТЬ ИСПОЛЬЗОВАТЬ:

Методы аналитического и численного решения задач прохождения сигналов через линейные и нелинейные цепи;

Методы спектрального и корреляционного анализа детерминированных и случайных сигналов,

ВЛАДЕТЬ:

Приемами измерения основных параметров и характеристик радиотехнических цепей и сигналов;

Приемами анализа прохождения сигналов через цепи,

ИМЕТЬ ОПЫТ:

Исследования прохождения детерминированных сигналов через линейные стационарные цепи, нелинейные и параметрические цепи;

Расчета простейших радиотехнических цепей.

Эксплуатационная направленность подготовки по дисциплине обеспечивается проведением лабораторного практикума, в ходе которого каждому студенту прививаются практические навыки:

Работы с электро- и радиоизмерительными приборами;

Проведения экспресс-анализа нештатных ситуаций в работе фрагментов радиотехнических цепей по результатам измерений.

2 КРАТКИЙ ОБЗОР КУРСА, СВЯЗЬ С ДРУГИМИ ДИСЦИПЛИНАМИ

Дисциплина "Радиотехнические цепи и сигналы" базируется на знан и ях "Математики", "Физики", "Информатики", и обеспечивает усвоение ст у дентами общенаучных и специальных дисциплин, "Метрология и радиоизм е рения", "Устройства генерирования и формирования радиосигналов", "Устройства приема и обработки сигналов", "Основы телевидения и виде о техники", "Статистическая теория радиотехнических систем", "Радиотехн и ческие системы", курсовое и дипломное прое к тирование.

Изучение дисциплины "Радиотехнические цепи и сигналы" развивает у студентов инженерное мышление, готовит их к освоению специальных дисциплин.

Преподавание дисциплины направлено:

На глубокое изучение студентами основных законов, принципов и методов анализа электрических цепей, физической сущности электромагнитных процессов в устройствах радиоэлектроники;

На привитие твердых навыков по анализу установившихся и переходных процессов в цепях, а также по проведению экспериментов с целью определения характеристик и параметров электрических цепей.

Дисциплина состоит из 5 разделов:

1 Сигналы;

2 Прохождение сигналов через линейные цепи;

3 Нелинейные и параметрические цепи;

4 Цепи с обратными связями и автоколебательные цепи

5 Принципы цифровой фильтрации сигналов

3. КРАТКАЯ ИСТОРИЯ РАЗВИТИЯ ДИСЦИПЛИНЫ

Возникновение теории электрических и радиотехнических цепей неразрывно связано с практикой: со становлением электротехники, радиотехники и радиоэлектроники. В развитие указанных областей и их теории внесли свой вклад многие отечественные и зарубежные ученые.

Явления электричества и магнетизма были известны человеку давно. Однако лить во второй половине ХУШ века они начали изучаться серьезно, с них стали срываться ореолы таинственности и сверхъестественности.

Уже Михаил Васильевич Ломоносов (1711 - 1765) предполагал, что в природе существует одно электричество и что электрические и магнитные явления органически связаны между собой. Большой вклад в науку об электричестве внес русский академик Франс Эпинус (1724 - 1802).

Бурное развитие учения об электромагнитных явлениях произошло в XIX веке, вызванное интенсивным развитием машинного производства. В это время человечество изобретает для своих практических нужд ТЕЛЕГРАФ, ТЕЛЕФОН, ЭЛЕКТРИЧЕСКОЕ ОСВЕЩЕНИЕ, СВАРКУ МЕТАЛЛОВ, ЗЛЕКТРОМАШИННЫЕ ГЕНЕРАТОРЫ и ЭЛЕКТРОДВИГАТЕЛИ.

Укажем в хронологической последовательности наиболее яркие этапы развития учения об электромагнетизме.

В 1785 году французский физик Кулон Шарль Ответ (1736 - 1806) установил закон механического взаимодействия электрических зарядов (закон Кулона) .

В 1819 году датчанин Эрстед Ханс Кристиан (1777 - 1851) обнаружил действие электрического тока на магнитную стрелку, а в 1820 году французский физик Ампер Андре Мари (1775 - 1836) установил количественную меру (силу), действующую со стороны магнитного поля на участок проводника (закон Ампера) .

В 1827 году немецкий физик Ом Георг Симон (1787 - 1854) получил экспериментально связь между тоном и напряжением для участка металлического проводника (закон Ома).

В 1831 году английский физик Фарадей Майкл (1791 - 1867) установил закон электромагнитной индукции, а в 1832 году русский физик Ленц Эмилий Христианович (1804 - 1865) сформулировал принцип общности и обратимости электрических и магнитных явлений.

В 1873 году на основании обобщения экспериментальных данных по электричеству и магнетизму английский ученый Дж. К. Максвелл выдвинул гипотезу существования электромагнитных волн и разработал теорию для их описания.

В 1888 году немецкий физик Герц Генрих Рудольф (1857 - 1894) экспериментально доказал существование излучения электромагнитных волн.

Практическое использование радиоволн впервые осуществил русский ученый Александр Степанович Попов (1859 - 1905), который 7 мая 1895 года продемонстрировал на заседании Русского физико - химического общества передатчик (искровой прибор) и приемник электромагнитных волн (грозоотметчик) .

В конце XIX века в России работали известные инженеры и ученые Лодыгин Александр Николаевич (1847 - 1923), создавший первую в мире лампу накаливания (1873); Яблочков Павел Николаевич (1847 - 1894), разработавший электросвечу (1876); Доливо-Добровольский Михаил Осипович (1861 - 1919), создавший трехфазную систему токов (1889) и основавший современную энергетику.

В XIX веке анализ электрических цепей составлял одну из задач электротехники. Электрические цепи изучались и рассчитывались по чисто физическим законам, описывающим их поведение под действием электрических зарядов, напряжений и токов. Эти физические законы легли в основу теории электрических и радиотехнических цепей.

В 1893 - 1894 годах трудами Ч.Штейнметца и А.Кеннелли был развит так называемый символический метод, который сначала был применен для механических колебаний в физике, а затем перенесен в электротехнику, где комплексные величины стали использоваться для обобщенного представления амплитудно-фазовой картины установившегося синусоидального колебания.

На основе работ Герца (1888), а затем Пупина (1892) по резонансу и настройке RLC-контуров и связанных колебательных систем возникли проблемы определения передаточных характеристик цепей.

В 1889 году А.Кеннелли разработал формально - математический метод эквивалентного преобразования электрических цепей.

Во второй половине XIX века Максвелл и Гельмгольц разработали методы контурных токов и узловых напряжений (потенциалов), которые легли в основу матричных и топологических методов анализа более позднего времени. Весьма важным было определение Гельмгольцем принципа СУПЕРПОЗИЦИИ, т.е. отдельного рассмотрения нескольких простых процессов в одной и той же цепи с последующим алгебраическим суммированием этих процессов в более сложное электрическое явление в той же цепи. Метод суперпозиции позволил теоретически решать большой круг задач, которые до этого считались неразрешимыми и поддавались только эмпирическому рассмотрению.

Следующим существенным шагом в становлении теории электрических и радиотехнических цепей было введение в 1899 году понятия комплексного сопротивления электрической цепи переменному току.

Важным этапом формирования теории электрических и радиотехнических цепей было исследование частотных характеристик цепей. Первые идеи в этом направлении также связаны с именем Гельмгольца, который использовал для анализа принцип суперпозиции и метод гармонического анализа, т.е. применил разложение функции в ряд Фурье.

В конце XIX века были введены понятия Т- и П- образных цепей (их стали называть четырехполюсниками) . Почти одновременно с этим возникло понятие электрических фильтров.

Фундамент современной теории радиотехнических цепей и радиотехники вообще заложили наши соотечественники М.Б.Шулейкин, Б.А.Веденский, А.И.Берг, А.Л.Минц, В.А.Котельников, А.Н.Мандельштамм, Н.Д.Папалекси и многие другие.

4 ОБЩАЯ МЕТОДИКА РАБОТЫ НАД КУРСОМ, ВИДЫ ЗАНЯТИЙ, ФОРМЫ ОТЧЕТНОСТИ, УЧЕБНАЯ ЛИТЕРАТУРА

Изучение дисциплины осуществляется на лекциях, лабораторных и практических занятиях.

Лекции являются одним из важнейших видов учебных занятий и с о ставляют основу теоретического обучения. Они дают систематизированные основы научных знаний по дисциплине, концентрируют внимание обуча е мых на наиболее сложных и узловых вопросах, стимулируют их активную познавательную деятельность, формируют творческое мышление.

На лекциях наряду с фундаментальностью обеспечивается необход и мая степень практической направленности обучения. Изложение материала увязывается с войсковой практикой, конкретными объектами специальной техники, в которых находят применение электрические цепи.

Лабораторные занятия имеют целью обучить студентов методам эк с периментальных и научных исследований, привить навыки научного анализа и обобщения полученных результатов, навыки работы с лабораторным об о рудованием, контрольно-измерительными приборами и вычислительной те х никой.

При подготовке к лабораторным занятиям студенты самостоятельно или (при необходимости) на целевых консультациях изучают соответству ю щий теоретический материал, общий порядок проведения исследований, оформляют бланки отчетов (вычерчивают схему лабораторной установки, необходимые таблицы).

Эксперимент является основной частью лабораторной работы и реал и зуется каждым студентом самостоятельно в соответствии с руководством к лабораторной работе. Перед проведением эксперимента проводится ко н трольный опрос в форме летучки, цель которого - проверка качества подг о товки студентов к лабораторной работе. При этом необходимо обращать внимание на знание теоретического материала, порядка выполнения работы, характер ожидаемых результатов. При приеме отчетов следует учитывать а к куратность оформления, соблюдение студентами требований ЕСКД, нал и чие и правильность необходимых выводов.

Практические занятия проводятся с целью выработки навыков в реш е нии задач, производстве расчетов. Главным их содержанием является пра к тическая работа каждого студента. На практические занятия выносятся зад а чи, имеющие прикладной характер. Повышение уровня компьютерной по д готовки осуществляется на практических занятиях путем выполнения расч е тов с помощью программируемых микрокалькуляторов или персональных ЭВМ. В начале каждого занятия проводится контрольный опрос, цель кот о рого - проверка подготовленности студентов к занятию, а также - активиз а ция их познавательной деятельности.

В процессе усвоения содержания дисциплины у студентов системат и чески формируются методические навыки и навыки самостоятельной работы. Студентам прививаются умения правильно задать вопрос, поставить пр о стейшую задачу, доложить сущность проделанной работы, пользоваться до с кой и наглядными пособиями.

Для привития первичных навыков подготовки и проведения учебных занятий предусматривается привлечение студентов в качестве помощников руководителя лабораторных занятий.

К числу важнейших направлений активизации познавательной де я тельности студентов относится проблемное обучение. Для его реализации с о здаются проблемные ситуации по курсу в целом, по отдельным темам и в о просам, которые реализуются:

С помощью введения новых проблемных понятий с показом того, как исторически они появились и как они применяются;

Путем столкновения студента с противоречиями между новыми явл е ниями и старыми понятиями;

С необходимостью выбора нужной информации;

Использованием противоречий между имеющимися знаниями по р е зультатам решения и требованиями практики;

Предъявлением фактов и явлений, необъяснимых на первый взгляд с

помощью известных законов;

Путем выявления межпредметных связей и связей между явлениями.

В процессе изучении дисциплины предусмотрен контроль усвоения материала на всех практических видах занятий в форме летучек, а по темам 1 и 2 форме двухчасовой контрольной работы.

Для определения качества обучения в целом по дисциплине проводи т ся экзамен. К экзамену допускаются студенты, выполнившие все требования учебной программы, отчитавшиеся о всех лабораторных работах, получи в шие положительные оценки по курсовой работе. Экзамены проводятся в ус т ной форме с необходимыми письменными пояснениями на классной доске (формулы, графики и т.п.). На подготовку каждому студенту предоставляется время не более 30 минут. Для подготовки к ответу студенты могут использ о вать разрешенные начальником кафедры методические и справочные мат е риалы. Подготовка к ответу может осуществляться письменно. Начальник кафедры может освобождать от сдачи экзамена студентов, показавших о т личные знания по результатам текущего контроля, с выставлением им оце н ки "отлично".

Таким образом, дисциплина "Радиотехнические цепи и сигналы" явл я ется системой концентрированных и в то же время достаточно полных и з а вершенных знаний, позволяющих радиоинженеру свободно ориентироваться в важнейших вопросах эксплуатации специальных радиотехнических устройств и систем.

ОСНОВНАЯ УЧЕБНАЯ ЛИТЕРАТУРА:

1. БАСКАКОВ С.И. Радиотехнические цепи и сигналы. 3-е издание. М.: Высшая школа, 2000 .

ДОПОЛНИТЕЛЬНАЯ ЛИТЕРАТУРА

2. БАСКАКОВ С.И. Радиотехнические цепи и сигналы. Руководство к решению задач: Учеб. пособие для радиотехн. спец. вузов. - 2-е издание. М.: Высшая шк о ла, 2002.

3. ПОПОВ В.П. Основы теории цепей. Учеб. для вузов.-3-е изд. М.: Высшая шк о ла, 2000 .

5 ЭНЕРГЕТИЧЕСКИЕ ХАРАКТЕРИСТИКИ СИГНАЛА

Основными энергетическими характеристиками вещественного сигнала являются:

1) мгновенная мощность, определяемая как квадрат мгновенного значения сигнала

Если напряжение или ток, то мгновенная мощность, выделяемая на сопротивлении и 1 Ом.

Мгновенная мощность не аддитивна, т. е. мгновенная мощность суммы сигналов не равна сумме их мгновенных мощностей:

2) энергия на интервале времени выражается как интеграл от мгновенной мощности

3) средняя мощность на интервале определяется значением энергии сигнала на этом интервале, отнесенной к единице времени

где.

Если сигнал задан на бесконечном интервале времени, то средняя мощность определяется следующим образом:

Системы передачи информации проектируются так, чтобы информация передавалась с искажениями меньше заданных при минимальной энергии и мощности сигналов.

Энергия и мощность сигналов, определяемые на произвольном интервале времени, могут быть аддитивными, если сигналы на этом интервале времени ортогональны. Рассмотрим два сигнала и, которые заданы на интервале времени . Энергия и мощность суммы этих сигналов выражаются так:

, (1)

. (2)

Здесь, и, энергия и мощность первого и второго сигналов, взаимная энергия и взаимная мощность этих сигналов (или энергия и мощность их взаимодействия) . Если выполняются условия

то сигналы и на интервале времени называют ортогональными, и выражения (1) и (2) принимают вид

Понятие ортогональности сигналов обязательно связано с интервалом их определения.

Применительно к комплексным сигналам также пользуются понятиями мгновенной мощности, энергии и средней мощности. Эти величины вводят так, чтобы энергетические характеристики комплексного сигнала были действительными величинами.

1. Мгновенная мощность определяется произведением комплексного сигнала на комплексно-сопряженный сигнал

2. Энергия сигнала на интервале времени по определению равна

3. Мощность сигнала на интервале определяется как

Два комплексных сигнала и, заданные на интервале времени, являются ортогональными, если их взаимная мощность (или энергия) равна нулю.

6 КОРРЕЛЯЦИОННЫЕ ХАРАКТЕРИСТИКИ ДЕТЕРМИНИРОВАННЫХ СИГНАЛОВ

Одной из важнейших временных характеристик сигнала является автокорреляционная функция (АКФ), позволяющая судить о степени связи (корреляции) сигнала с его сдвинутой по времени копией.

Для вещественного сигнала, заданного на интервале времени и ограниченного по энергии, корреляционная функция определяется следующим выражением:

, (3)

где - величина временного сдвига сигнала.

Для каждого значения автокорреляционная функция выражается некоторой числовой величиной.

Из (3) следует, что АКФ является четной функцией временного сдвига. Действительно, заменяя в (3) переменную на, получим

При сходство сигнала с его несдвинутой копией наибольшее и функция достигает максимального значения, равного полной энергии сигнала

С увеличением функция всех сигналов, кроме периодических, убывает (не обязательно монотонно) и при относительном сдвиге сигналов и на величину, превышающую длительность сигнала, обращается в нуль.

Автокорреляционная функция периодического сигнала сама является периодической функцией с тем же периодом.

Для оценки степени подобия двух сигналов и используется взаимная корреляционная функция (ВКФ), которая определяется выражением

Здесь и сигналы, заданные на бесконечном интервале времени и обладающие конечной энергией.

Значение не меняется, если вместо задержки сигнала рассматривать опережение первого сигнала.

Автокорреляционная функция является частным случаем ВКФ, когда сигналы и одинаковы.

В отличие от функция в общем случае не является четной относительно и может достигать максимума три любом.

Значение определяет взаимную энергию сигналов и

7 ГЕОМЕТРИЧЕСКИЕ МЕТОДЫ В ТЕОРИИ СИГНАЛОВ

При решении многих теоретических и прикладных задач радиотехники возникают такие вопросы: 1) в каком смысле можно говорить о величине сигнала, утверждая, например, что один сигнал значительно превосходит другой; 2) можно ли объективно оценивать, насколько два неодинаковых сигнала «похожи» друг на друга?

В XX в. был создан функциональный анализ раздел математики, обобщающий наши интуитивные представления о геометрической структуре пространства. Оказалось, что идеи функционального анализа дают возможность создать стройную теорию сигналов, в основе которой лежит концепция сигнала как вектора в специальным образом сконструированном бесконечномерном пространстве.

Линейное пространство сигналов. Пусть - множество сигналов. Причина объединения этих объектов наличие некоторых свойств, общих для всех элементов множества.

Исследование свойств сигналов, образующих такие множества, становится особенно плодотворным тогда, когда удается выражать одни элементы множества через другие элементы. Принято говорить, что множество сигналов наделено при этом определенной структурой. Выбор той или иной структуры должен быть продиктован физическими соображениями. Так, применительно к электрическим колебаниям известно, что они могут складываться, а также умножаться на произвольный масштабный коэффициент. Это дает возможность в множествах сигналов ввести структуру линейного пространства.

Множество сигналов образует вещественное линейное пространство, если справедливы следующие аксиомы:

1. Любой сигнал при любых принимает лишь вещественные значения.

2. Для любых и существует их сумма, причем также содержится в. Операция суммирования коммутативна: и ассоциативна: .

3. Для любого сигнала и любого вещественного числа определен сигнал =.

4. Множество М содержит особый нулевой элемент  , такой, что  для всех.

Если математические модели сигналов принимают комплексные значения, то, допуская в аксиоме 3 умножение на комплексное число, приходим к понятию комплексного линейного пространства.

Введение структуры линейного пространства, является первым шагом на пути к геометрической трактовке сигналов. Элементы линейных пространств часто называют векторами, подчеркивая аналогию свойств этих объектов и обычных трехмерных векторов.

Ограничения, налагаемые аксиомами линейного пространства, весьма жестки. Далеко не каждое множество сигналов оказывается линейным пространством.

Понятие координатного базиса. Как и в обычном трехмерном пространстве, в линейном пространстве сигналов можно выделить специальное подмножество, играющее роль координатных осей.

Говорят, что совокупность векторов { }, принадлежащих, является линейно независимой, если равенство

возможно лишь в случае одновременного обращения в нуль всех числовых коэффициентов.

Система линейно независимых векторов образует координатный базис в линейном пространстве. Если дано разложение некоторого сигнала в виде

то числа {} являются проекциями сигнала относительно выбранного базиса.

В задачах теории сигналов число базисных векторов, как правило, неограниченно велико. Такие линейные пространства называют бесконечномерными. Естественно, что теория этих пространств не может быть вложена в формальную схему линейной алгебры, где число базисных векторов всегда конечно.

Нормированное линейное пространство. Энергия сигнала. Для того чтобы продолжить и углубить геометрическую трактовку теории сигналов, необходимо ввести новое понятие, которое по своему смыслу соответствует длине вектора. Это позволит не только придать точный смысл высказыванию вида «первый сигнал больше второго», но и указать, насколько он больше.

Длину вектора в математике называют его нормой. Линейное пространство сигналов является нормированным, если каждому вектору однозначно сопоставлено число норма этого вектора, причем выполняются следующие аксиомы нормированного пространства:

1. Норма неотрицательна, т. е. . Норма тогда и только тогда, если  .

2. Для любого числа справедливо равенство.

3. Если и два вектора из , то выполняется неравенство треугольника: .

Можно предложить разные способы введения нормы сигналов. В радиотехнике чаще всего полагают, что вещественные аналоговые сигналы имеют норму

(4)

(из двух возможных значений корня выбирается положительное). Для комплексных сигналов норма

где * символ комплексно-сопряженной величины. Квадрат нормы носит название энергии сигнала

Именно такая энергия выделяется в резисторе с сопротивлением 1 Ом, если на его зажимах существует напряжение.

Определять норму сигнала с помощью формулы (4) целесообразно по следующим причинам:

1. В радиотехнике о величине сигнала часто судят, исходя из суммарного энергетического эффекта, например количества теплоты, выделяемой в резисторе.

2. Энергетическая норма оказывается «нечувствительной» к изменениям формы сигнала, может быть, и значительным, но происходящим на коротких отрезках времени.

Линейное нормированное пространство с конечной величиной нормы вида (1.15) носит название пространства функций с интегрируемым квадратом и кратко обозначается.

8 ТЕОРИЯ ОРТОГОНАЛЬНЫХ СИГНАЛОВ. ОБОБЩЕННЫЙ РЯД ФУРЬЕ

Введя во множестве сигналов структуру линейного пространства, определив норму и метрику, мы, тем не менее, лишены возможности вычислить такую характеристику, как угол между двумя векторами. Это удается сделать, сформулировав важное понятие скалярного произведения элементов линейного пространства.

Скалярное произведение сигналов. Напомним, что если в обычном трехмерном пространстве известны два вектора и, то квадрат модуля их суммы

где - скалярное произведение этих векторов, зависящее от угла между ними.

Действуя по аналогии, вычислим энергию суммы двух сигналов и:

. (5)

В отличие от самих сигналов их энергии неаддитивны - энергия суммарного сигнала содержит в себе так называемую взаимную энергию

. (6)

Сравнивая между собой формулы (5) и (6), определим скалярное произведение вещественных сигналов и:

Скалярное произведение обладает свойствами:

, где - вещественное число;

Линейное пространство с таким скалярным произведением, полное в том смысле, что оно содержит в себе все предельные точки любых сходящихся последовательностей векторов из этого пространства, называется вещественным гильбертовым пространством.

Справедливо фундаментальное неравенство Коши Буняковского

Если сигналы принимают комплексные значения, то можно определить комплексное гильбертово пространство, введя в нем скалярное произведение по формуле

такое, что.

Ортогональные сигналы и обобщенные ряды Фурье. Два сигнала и называются ортогональными, если их скалярное произведение, а значит, и взаимная энергия равны нулю:

Пусть гильбертово пространство сигналов с конечным значением энергии. Эти сигналы определены на отрезке времени, конечном или бесконечном. Предположим, что на этом же отрезке задана бесконечная система функций , ортогональных друг другу и обладающих единичными нормами:

Говорят, что при этом в пространстве сигналов задан ортонормированный базис.

Разложим произвольный сигнал в ряд:

(7)

Представление (7) называется обобщенным рядом Фурье сигнала в выбранном базисе.

Коэффициенты данного ряда находят следующим образом. Возьмем базисную функцию с произвольным номером, умножим на нее обе части равенства (7) и затем проинтегрируем результаты по времени:

. (8)

Ввиду ортонормированности базиса в правой части равенства (8) останется только член суммы с номером, поэтому

Возможность представления сигналов посредством обобщенных рядов Фурье является фактом большого принципиального значения. Вместо того, чтобы изучать функциональную зависимость в несчетном множестве точек, мы получаем возможность характеризовать эти сигналы счетной (но, вообще говоря, бесконечной) системой коэффициентов обобщенного ряда Фурье.

Энергия сигнала, представленного в форме обобщенного ряда Фурье. Рассмотрим некоторый сигнал, разложенный в ряд по ортонормированной базисной системе:

и вычислим его энергию, непосредственно подставив этот ряд в соответствующий интеграл:

(9)

Поскольку базисная система функций ортонормирована, в сумме (9) отличными от нуля окажутся только члены с номерами. Отсюда получается замечательный результат:

Смысл этой формулы таков: энергия сигнала есть сумма энергий всех компонент, из которых складывается обобщенный ряд Фурье.

Старший преподаватель кафедры Радиоэлектроника С. Лазаренко