Пример 4.1. Определить нормальное и касательное напряжения в точке К прямоугольного сечения балки (6х14 см), если изгибающий момент в этом сечении М х =–40кНм=–40 кНсм., а поперечная сила равна 20 кН.

Решение. Момент инерции прямоугольного поперечного сечения относительноглавной центральной оси x .

J x = = =1372 см 4 . .

Ось у направим вниз. Координата точки К равна у к = –4см.

Нормальное напряжение в точке К будет равно

=116,6 МПа.

Касательное напряжение в точке К вычисляем по формуле Журавского.

Статический момент отсечённой части площади сечения равен

Ширина сечения на уровне К равна b(y)= 6см.

Определим касательное напряжение в точке К.

=2,4 МПа.

Пример 4.2. Определить наибольшее растягивающее нормальное и наибольшее касательное напряжения в балке круглого сечения, если в сечении М х = 80 кНм= 80 10 3 кНсм, Q= 60кН.

Диаметр сечения d=14 см.

Решение. Наибольшее растягивающее нормальное напряжение возникает в нижнем волокне растянутой зоны сечения, т.е. в волокне наиболее удалённом от нейтральной оси х , и определяется по формуле

Наибольшие касательные напряжения возникают в точках сечения на уровне нейтральной оси х , где все касательные напряжения параллельны поперечной силе, и их можно определять по формуле Журавского.

Площадь сечения равна А = = =153,56 см 2 .

Момент сопротивления сечения равен W x = = 269,26см 3 .

Определим значение растягивающего наибольшего нормального

напряжения

=14,86 =148,6 МПа.

Определим значение наибольшего касательного напряжения

=0,52 =5,2МПа.

Пример 4.3. Определить нормальное и касательное напряжения в точке К на уровне примыкания стенки к полкам стального двутавра (I30), а также наибольшие нормальные и касательные напряжения, если М х =50 кНм=50 10 2 кНсм, Q =30 кН.

Решение. Из сортамента балки двутавровые выписываем необходимые данные для двутавра I30.

h = 300мм=30 см, b=135мм=13,5см, d = 6,5 см=0,65 см,

t=10,2 мм=1,02 см.

Площадь сечения А= 46,5 см 2 , момент инерции J х = 7080 см 4 , момент сопротивления W х = 472 см 3 .

Определим значение статического момента площади сечения полки относительно нейтральной оси х .

= 199,53 см 3 .

На уровне примыкания стенки к полкам касательные напряжения

Напряжение есть вектор и как всякий вектор может быть представлен нормальной (по отношению к площадке) и касательной составляющими (рис. 2.3). Нормальную составляющую вектора напряжений будем обозначать касательную . Экспериментальными исследованиями установлено, что влияние нормальных и касательных напряжений на прочность материала различно, и потому в дальнейшем окажется необходимым всегда раздельно рассматривать составляющие вектора напряжений.

Рис. 2.3. Нормальное и касательное напряжения в площадке

Рис. 2.4. Касательное напряжение при срезе болта

При растяжении болта (см. рис. 2.2) в поперечном сечении действует нормальное напряжение

При работе болта на срез (рис. 2.4) в сеченйи П должно возникать усилие, уравновешивающее усилие .

Из условий равновесия следует, что

В действительности последнее соотношение определяет некоторое среднее напряжение по сечению, которым иногда пользуются для приближенных оценок прочности. На рис. 2.4 показан вид болта после воздействия значительных усилий. Началось разрушение болта, и одна его половина сместилась относительно другой: произошла деформация сдвига или среза.

Примеры определения напряжений в элементах конструкций.

Разберем простейшие примеры, в которых предположение о равномерном распределении напряжений, можно считать практически приемлемым. В таких случаях величины напряжений определяются с помощью метода сечений из уравнений статики (уравнений равновесия).

Кручение тонкостенного круглого вала.

Тонкостенный круглый вал (труба) передает крутящий момент (например, от авиационного двигателя на воздушный винт). Требуется определить напряжения в поперечном сечении вала (рис. 2.5, а). Проведем плоскость сечения П перпендикулярно оси вала и рассмотрим равновесие отсеченной части (рис. 2.5, б).

Рис. 2.5. Кручение тонкостенного круглого вала

Из условия осевой симметрии, учитывая малую толщину стенки можно принять, что напряжения во всех точках поперечного сечения одинаковы.

Строго говоря, такое предположение справедливо только при очень малой толщине стенки, но в практических расчетах его используют, если толщина стенки

где - средний радиус сечения.

Внешние силы, приложенные к отсеченной части вала, сводятся только к крутящему моменту, и потому нормальные напряжения в поперечном сечении должны отсутствовать. Крутящий момент уравновешивается касательными напряжениями, момент которых равен

Из последнего соотношения находим касательное напряжение в сечении вала:

Напряжения в тонкостенном цилиндрическом сосуде (трубе).

В тонкостенном цилиндрическом сосуде действует давление (рис. 2.6, а).

Проведем сечение плоскостью П, перпендикулярной оси цилиндрической оболочки, и рассмотрим равновесие отсеченной части. Давление, действующее на крышку сосуда, создает усилив

Это усилие уравновешивается силами, возникающими в поперечном сечении оболочки, и интенсивность - указанных сил - напряжение - будет равна

Толщина оболочки 5 предполагается малой по сравнению со средним радиусом , напряжения считаются равномерно распределенными во всех точках поперечного сечения (рис. 2.6, б).

Однако на материал трубы действуют не только напряжения в продольном направлении, но и окружные (или кольцевые) напряжения в перпендикулярном направлении. Для их выявления выделим двумя сечениями кольцо длиной I (рис. 2.7), а затем проведем диаметральное сечение, отделяющее половину кольца.

На рис. 2.7, а показаны напряжения на поверхностях сечения. На внутреннюю поверхность трубы радиусом действует давление

Рис. 2.8. Трещина в цилиндрической оболочке при действии разрушающего внутреннего давления

Задача 4.1.1: Совокупность напряжений, возникающих на множестве площадок, проходящих через рассматриваемую точку, называют …

2) полным напряжением;

3) нормальным напряжением;

4) касательным напряжением.

Решение:

1) Ответ верный. Напряженное состояние в точке полностью определяется шестью компонентами тензора напряжений: σ x , σ y , σ z , τ xy , τ yz , τ zx . Зная эти компоненты, можно определить напряжения на любой площадке, проходящей через данную точку. Совокупность напряжений, действующих по множеству площадок (сечений), проходящих через данную точку, называется напряженным состоянием в точке.

2) Ответ неверный! Незнание определения полного напряжения в точке (сила, приходящаяся на единицу площади сечения).

3) Ответ неверный! Напомним, что проекция вектора полного напряжения на нормаль к сечению называется нормальным напряжением.

4) Ответ неверный! Допущена ошибка в определении термина «касательное напряжение».
Проекция вектора полного напряжения на ось, лежащую в плоскости сечения, называется касательным напряжением.

Задача 4.1.2: Площадки в исследуемой точке напряженного тела, на которых касательные напряжения равны нулю, называют …

1) ориентированными; 2) главными площадками;

Решение:

1) Ответ неверный! Термин не соответствует заданному условию. Под ориентированными понимаются площадки, которые проходят через точку по заранее заданному направлению.

2) Ответ верный.

При повороте элементарного объема 1 можно отыскать такую его пространственную ориентацию 2, при которой касательные напряжения на его гранях исчезнут и останутся только нормальные напряжения (некоторые из них могут быть равными нулю). Площадки (грани), на которых касательные напряжения равны нулю, называются главными площадками.

3) Ответ неверный! Термин не соответствует заданному условию. Октаэдрическими называют площадки равнонаклоненные к главным. Касательные напряжения на октаэдрических площадках не равны нулю.

4) Ответ неверный! Напоминаем, что под секущими понимают площадки проведенные через точку, в которой исследуется напряженное состояние.

Задача 4.1.3: Главные напряжения для напряженного состояния, показанного на рисунке, равны… (Значения напряжений указаны в МПа ).

1)σ 1 =150 МПа, σ 2 =50 МПа; 2) σ 1 =0 МПа, σ 2 =50 МПа, σ 3 =150 МПа;

3) σ 1 =150 МПа, σ 2 =50 МПа, σ 3 =0 МПа;

4) σ 1 =100 МПа, σ 2 =100 МПа, σ 3 =0 МПа;

Решение:

1) Ответ неверный! Не указано значение главного напряжения σ 3 =0 МПа.

2) Ответ неверный! Обозначения главных напряжений не соответствуют правилу нумерации.

3) Ответ верный. Одна грань элемента свободна от касательных напряжений. Поэтому это главная площадка, а нормальное напряжение (главное напряжение) на этой площадке также равно нулю.
Для определения двух других значений главных напряжений воспользуемся формулой
,
где положительные направления напряжений показаны на рисунке.

Для приведенного примера имеем , , . После преобразований найдем
В соответствии с правилом нумерации главных напряжений имеем , , , т.е. плоское напряженное состояние.

4) Ответ неверный! Это не главные напряжения, а заданные значения нормальных напряжений, действующие на выделенный элемент.

Задача 4.1.4: В исследуемой точке напряженного тела на трех главных площадках определены значения нормальных напряжений: Главные напряжения в этом случае равны...

1)σ 1 =150 МПа, σ 2 =50 МПа, σ 3 =-100 МПа;

2) σ 1 =150 МПа, σ 2 =-100 МПа, σ 3 =50 МПа;

3) σ 1 =50 МПа, σ 2 =-100 МПа, σ 3 =150 МПа;

4) σ 1 =-100 МПа, σ 2 =50 МПа, σ 3 =150 МПа;

Решение:

1) Ответ верный. Главным напряжениям присваивают индексы 1, 2, 3 так, чтобы выполнялось условие . Следовательно,

2), 3), 4) Ответ неверный! Главным напряжениям присваивают индексы 1, 2, 3 так, чтобы выполнялось условие (в алгебраическом смысле).

Задача 4.1.5: На гранях элементарного объема (см. рисунок) определены значения напряжений в МПа . Угол между положительным направлением оси x и внешней нормалью к главной площадке, на которой действует минимальное главное напряжение, равен …

1) ; 2) ; 3) ; 4) .

Решение:

1), 2), 4) Ответ неверный! По всей видимости, неправильно записана формула для определения угла. Правильная запись:

3) Ответ верный.

Угол определяется по формуле
Подставляя числовые значения напряжений, получаем Поскольку угол отрицательный, откладываем угол по часовой стрелке.

Задача 4.1.6: Значения главных напряжений определяют из решения кубического уравнения Коэффициенты , , называют…

1) инвариантами напряженного состояния; 2) упругими постоянными;

4) коэффициентами пропорциональности.

Решение:

1) Ответ верный. Корни уравнения – главные напряжения − определяются характером напряженного состояния в точке и не зависят от выбора исходной системы координат. Следовательно, при повороте системы осей координат коэффициенты



должны оставаться неизменными. Они называются инвариантами напряженного состояния.

2) Ответ неверный! Ошибка в определении термина. Упругие постоянные характеризуют свойства материала.

3) Ответ неверный! Напомним, что направляющие косинусы – это косинусы углов, которые образует нормаль с осями координат.

4) Ответ неверный! Термин не соответствует условию вопроса

Через любую точку напряженного тела можно провести, как правило, _____________ взаимно перпендикулярные площадки (-ок), на которых касательные напряжения будут равны нулю.

			три
			две
			четыре
			шесть

Решение:

На рисунке показано тело, нагруженное внешними силами, и элементарный объем с напряжениями на его гранях. При мысленном повороте элементарного объема можно отыскать такую его пространственную ориентацию, при которой касательные напряжения на гранях будут равны нулю. Эти грани и будут главными площадками.

Тема: Напряженное состояние в точке. Главные площадки и главные напряжения
Главными осями напряженного состояния называются …

Решение:

На рисунке показан элементарный объем, выделенный в окрестности произвольной точки нагруженного тела. Если при данной ориентации элементарного объема касательные напряжения на его гранях равны нулю, то оси x , y , z называются главными осями напряженного состояния. При переходе от одной точки к другой направления главных осей в общем случае изменяются.

Тема: Напряженное состояние в точке. Главные площадки и главные напряжения
Нормальные напряжения, действующие на главных площадках, называются …

Решение:
Три взаимно перпендикулярные площадки, на которых отсутствуют касательные напряжения, называются главными площадками. Нормальные напряжения, действующие на главных площадках, называются главными напряжениями. Максимальное из трех главных напряжений является одновременно наибольшим полным напряжением, действующим по множеству площадок, проходящих через данную точку. Минимальное из трех главных напряжений является наименьшим из множества полных напряжений.

Тема: Напряженное состояние в точке. Главные площадки и главные напряжения

Напряженное состояние элементарного объема, показанное на рисунке, − плоское. Верхняя грань элементарного объема является главной площадкой. Положение двух других главных площадок определяется углом

Решение:

На рисунке показан элементарный объем (вид сверху). Направление нормали к главной площадке определим по формуле где − угол между положительным направлением оси x и нормалью к одной из главных площадок. Для нашего случая Подставляя эти значения в формулу, получаем откуда а

Тема: Напряженное состояние в точке. Главные площадки и главные напряжения

На рисунке показан стержень, растянутый силами F , и элементарный объем выделенный гранями, параллельными плоскостям стержня. При повороте элементарного объема вокруг оси «u » на угол, равный 45 0 , напряженное состояние …

Решение:
На рисунке элементарный объем выделен главными площадками. Главные напряжения: Напряженное состояние – линейное. Вид напряженного состояния не зависит от пространственной ориентации элементарного объема и при любом угле поворота остается линейным.

4.2. Виды напряженного состояния

Задача 4.2.1: Стержень круглого сечения диаметром d испытывает деформации чистый изгиб и кручение. Напряженное состояние в точке В показано на рисунке…

1) ; 2) ; 3) ; 4) .

Решение:

1) Ответ неверный! Крутящий момент вызывает появление касательных напряжений в плоскости перпендикулярной оси стержня.

2) Ответ неверный! Направление касательного напряжения в точке В поперечного сечения должно соответствовать направлению крутящего момента в данном сечении.

3) Ответ верный. Секущими плоскостями, ориентированными вдоль и поперек оси стержня, выделим объемный элемент. В сечении стержня у заделки действуют изгибающий момент М и крутящий момент 2М . От изгибающего момента М в точке В возникает нормальное растягивающее напряжение . Крутящий момент 2М , действующий в плоскости, перпендикулярной оси стержня, вызывает касательное напряжение . Направление касательного напряжения должно быть согласовано с направлением крутящего момента. Поэтому напряженное состояние элемента на рисунке 4 соответствует напряженному состоянию в точке В .

4) Ответ неверный! От крутящего момента в точке В поперечного сечения возникает касательное напряжение . Направление касательного напряжения должно быть согласовано с направлением крутящего момента.

Задача 4.2.2: Стержень испытывает деформации растяжение и чистый изгиб. Напряженное состояние, которое возникает в опасной точке, называется…

1) плоским; 2) объемным; 3) линейным; 4) чистым сдвигом.

Решение:

1) Ответ неверный! При плоском напряженном состоянии одно значение главного напряжения равно нулю.

2) Ответ неверный! В опасной точке отлично от нуля только одно главное напряжение. При объемном напряженном состоянии отличны от нуля три главных напряжения.

3) Ответ верный. Опасные точки расположены бесконечно близко к верхней грани элемента. В них возникают только растягивающие нормальные напряжения от продольной силы и изгибающего момента. Эпюры распределения напряжений от каждого внутреннего силового фактора и результирующая эпюра показаны на рисунке.

Следовательно, в опасной точке будет линейное напряженное состояние.

4) Ответ неверный! При чистом сдвиге два главных напряжения равны, но противоположны по знаку, а третье равно нулю.

Задача 4.2.3: Напряженное состояние «чистый сдвиг» показано на рисунке…

1) ; 2) ; 3) ; 4) .

Решение:

1) Ответ неверный! На рисунке показано плоское напряженное состояние – двухосное растяжение.

2) Ответ неверный! Элемент находится в условиях плоского напряженного состояния – двухосного смешанного напряженного состояния.

3) Ответ верный.

Чистый сдвиг – напряженное состояние, когда на гранях выделенного элементарного объема действуют только касательные напряжения. Если элементарный объем повернуть на угол, равный , то касательные напряжения на его гранях (площадках) будут равны нулю, но появятся нормальные (главные) напряжения и . Таким образом, чистый сдвиг может быть реализован растяжением и сжатием в двух взаимно перпендикулярных направлениях напряжениями, равными по абсолютной величине.
Следовательно, напряженное состояние «чистый сдвиг» показано на рисунке 3.

4) Ответ неверный! Данный элемент испытывает линейное напряженное состояние.

Задача 4.2.4: Тип напряженного состояния, показанного на рисунке, называется…

1) линейным; 2) плоским; 3) объемным; 4) чистым сдвигом.

Решение:

1) Ответ верный. Тип напряженного состояния определяется в зависимости от значений главных напряжений. В примере одна грань свободна от касательных напряжений – это главная площадка. Нормальное напряжение, действующее на главной площадке, называют главным напряжением. В данном случае оно равно нулю. Используя формулу , найдем два других главных напряжения. После преобразований получим , . В соответствии с принятыми обозначениями имеем , . Два главных напряжения равны нулю. Следовательно, на рисунке показано линейное напряженное состояние.

2) Ответ неверный! При плоском напряженном состоянии одно главное напряжение равно нулю. В данном случае два главных напряжения равны нулю.

3) Ответ неверный! При объемном напряженном состоянии В данном случае два главных напряжения равны нулю. Поэтому данное напряженное состояние не является объемным.

4) Ответ неверный! При чистом сдвиге , . Расчеты показывают, что для данного случая это неверно.

Задача 4.2.5: Напряженное состояние при значениях , , называют…

1) объемным; 2) чистым сдвигом; 3) плоским; 4) линейным.

Решение:

1) Ответ неверный! При объемном напряженном состоянии отличны от нуля все три главных напряжения.

2) Ответ неверный! При чистом сдвиге одно значение главного напряжения равно нулю, а два других равны по величине, но противоположны по знаку.

3) Ответ верный. Тип напряженного состояния определяется значениями главных напряжений. В случае, когда все три главных напряжения отличны от нуля, имеем объемное напряженное состояние. Если одно главное напряжение равно нулю - плоское напряженное состояние, а когда два равны нулю – линейное. Следовательно, в данном примере будет плоское напряженное состояние.

4) Ответ неверный! При линейном напряженном состоянии только одно главное напряжение отлично от нуля.

Задача 4.2.6: На гранях элементарного объема (см. рисунок) действуют напряжения заданные в МПа . Напряженное состояние в точке …

1) линейное; 2) плоское (чистый сдвиг); 3) плоское; 4) объемное.

Решение:

1) Ответ неверный! Фронтальная грань элементарного объема свободна от касательных напряжений. Это означает, что данная грань является главной площадкой и одно из трех главных напряжений равно (-50МПа ). Два других главных напряжения определите по формуле

2) Ответ неверный! Напомним, что при чистом сдвиге одно из главных напряжений равно нулю. Два других равны по абсолютной величине и противоположны по знаку.

3) Ответ верный. Передняя грань элементарного объема свободна от касательных напряжений. Это означает, что она является главной площадкой и одно из трех главных напряжений равно (-50 МПа ). Два других главных напряжения определим по формуле

Поставляя числовые значения, получаем


Присваивая главным напряжениям индексы, имеем:

Таким образом, напряженное состояние плоское (двухосное сжатие).

4) Ответ неверный! Фронтальная грань элементарного объема свободна от касательных напряжений. Это означает, что данная грань является главной площадкой и одно из трех главных напряжений равно (-50 МПа ). Два других главных напряжения можно определить по формуле
Результаты расчетов покажут, какое напряженное состояние изображено на рисунке.

Напряженное состояние элементарного объема, показанное на рисунке, является – …

Решение:
Главные напряжения являются корнями кубического уравнения
где:



В нашем случае , и кубическое уравнение принимает вид откуда
Таким образом, напряженное состояние элементарного объема линейное (одноосное растяжение).

Тема: Виды напряженного состояния

Стальной кубик вставлен без зазора в жесткую обойму (см. рис.). На верхнюю грань кубика действует равномерно распределенное давление интенсивности р . Поверхности кубика и обоймы абсолютно гладкие. Напряженное состояние кубика показано на рисунке …

			в
			г
			б
			а

Решение:

Силы трения между абсолютно гладкими поверхностями кубика и обоймы отсутствуют. Поэтому касательные напряжения на гранях кубика равны нулю, и все грани являются главными площадками. В процессе сжатия ребра кубика, направленные вдоль осей x и y , стремятся удлиниться. Удлинение вдоль оси y происходит свободно. Удлинение вдоль оси x невозможно (мешает жесткая обойма). В связи с невозможностью удлинения вдоль оси x , со стороны вертикальных плоскостей обоймы на кубик действуют усилия в виде равномерно распределенных по площади нагрузок с некоторой интенсивностью . Интенсивности р и следует рассматривать как главные напряжения. Таким образом, из трех главных напряжений одно (по фронтальной грани кубика). Поэтому напряженное состояние кубика плоское (рис. в ).

Тема: Виды напряженного состояния

На рисунке показан стержень, работающий на кручение с растяжением. Напряженное состояние в точке К является – …

Решение:

В точке К поперечного сечения действует нормальное напряжение от силы F . Эпюра касательных напряжений от крутящего момента показана на рисунке 1. В угловых точках Поэтому напряженное состояние в точке К − линейное (одноосное растяжение, рис. 2).

Тема: Виды напряженного состояния

Напряженное состояние элементарного объема является – …

Решение:

Верхняя грань элементарного объема является главной площадкой, поэтому одно главное напряжение равно Два других главных напряжения вычисляем по формуле
В данном случае (см. рис.) Подставляя в формулу, получаем
Присваивая главным напряжениям соответствующие индексы, получаем
Напряженное состояние − объемное.

Тема: Виды напряженного состояния

На тело действует равномерно распределенное по поверхности давление р (см. рис.). Напряженное состояние элементарного объема является – …

Решение:

Если на тело действует равномерно распределенное по поверхности давление р (см. рис.), то напряженное состояние в любой точке тела объемное (трехосное сжатие). При этом при любой пространственной ориентации элементарного объема.

Как уже известно, внешние сосредоточенные (т. е. приложенные в точке) нагрузки реально не существуют. Они представляют собой статический эквивалент распределенной нагрузки.

Аналогично сосредоточенные внутренние силы и моменты, характеризующие взаимодействие между отдельными частями элемента (или между отдельными элементами конструкции), являются также лишь статическим эквивалентом внутренних сил, распределенных по площади сечения.

Эти силы, так же как и внешние нагрузки, распределенные по поверхности, характеризуются их интенсивностью, которая равна

где - равнодействующая внутренних сил на весьма малой площадке проведенного сечения (рис. 7.1, а).

Разложим силу на две составляющие: касательную АТ и нормальную , из которых первая расположена в плоскости сечения, а вторая перпендикулярна к этой плоскости.

Интенсивность касательных сил в рассматриваемой точке сечения называется касательным напряжением и обозначается (тау), а интенсивность нормальных сил - нормальным напряжением и обозначается (сигма). Напряжения выражаются формулами

Напряжения имеют размерность и т. д.

Нормальное и касательное напряжения являются составляющими полного напряжения в рассматриваемой точке по данному сечению (рис. 7.1, б). Очевидно, что

Нормальное напряжение в данной точке по определенному сечению характеризует интенсивность сил отрыва или сжатия частиц элемента конструкций, расположенных по обе стороны этого сечения, а касательное напряжение - интенсивность сил, сдвигающих эти частицы в плоскости рассматриваемого сечения. Величины напряжений а и в каждой точке элемента зависят от направления сечения, проведенного через эту точку.

Совокупность напряжений , действующих по различным площадкам, проходящим через рассматриваемую точку, представляет собой напряженное состояние в этой точке.

Нормальные и касательные напряжения имеют в сопротивлении материалов весьма важное значение, так как от их величин зависит прочность сооружения.

Нормальные и касательные напряжения в каждом поперечном сечении бруса связаны определенными зависимостями с внутренними усилиями, действующими в этом сечении. Для получения таких зависимостей рассмотрим элементарную площадку поперечного сечения F бруса с действующими по этой площадке нормальными а и касательными напряжениями (рис. 8.1). Разложим напряжения на составляющие параллельные соответственно осям у и . На площадку действуют элементарные силы параллельные соответственно осям Проекции всех элементарных сил (действующих на все элементарные площадки сечения F) на оси и их моменты относительно этих осей определяются выражениями

4. Основные понятия о деформируемом теле: линейные и угловые перемещения и деформации; упругость, пластичность, хрупкость; изотропия и анизотропия.

5. Метод сечений для определения внутренних усилий. Примеры использования метода сечений.

6. Напряжение в точке. Полное, нормальное, касательное напряжения. Размерности напряжения.

19. Удельная потенциальная энергия линейно-упругого материала при одноосном напряжённом состоянии и при чистом сдвиге.

21. Поперечный изгиб прямого бруса. Вывод дифференциальных зависимостей между интенсивностью внешней поперечной нагрузки, внутренней поперечной силой и внутренним изгибающим моментом.

24. Вывод формул для определения осевых моментов инерции прямоугольника, треугольника, круга, кольца.

25. Преобразование моментов инерции плоской фигуры при параллельном переносе осей координат.

26. Преобразование моментов инерции плоской фигуры при повороте осей координат. Главные моменты инерции. Главные центральные оси плоской фигуры. Моменты инерции плоских симметричных фигур.

28. Прямой чистый изгиб прямого бруса. Обобщение задачи об определении напряжений в брусьях с симметричными поперечными сечениями и в брусьях с несимметричными поперечными сечениями.

29. Условия прочности при прямом чистом изгибе бруса. Три типа задач по расчёту на прочность. Привести числовые примеры. Жёсткость бруса при изгибе.

30. Рациональные формы поперечных сечений упругих балок (прямых брусьев) при прямом чистом изгибе. Привести примеры.

32. Прямой поперечный изгиб балки (прямого бруса). Вывод формулы для определения касательных напряжений, возникающих в поперечных сечениях двутавровой балки с использованием формулы д.И.Журавского.

45. Формула Эйлера для критической силы при различных способах опорных закреплений бруса. Приведённая длина бруса.

6. Напряжение в точке. Полное, нормальное, касательное напряжения. Размерности напряжения.

Напряжение – мера распределения внутренних сил по сечению.

Где
- внутренняя сила, выявленная на площадке
.

Полное напряжение
.

Нормальное напряжение – проекция вектора полного напряжения на нормаль обозначается через σ.
, где Е – модуль упругости I рода, ε – линейная деформация. Нормальное напряжения вызывается только изменением длин волокон, направлением их действий, а угол поперечных и продольных волокон не искажается.

Касательное напряжение – составляющие напряжения в плоскости сечения.
, где
(для изотропного материала) – модуль сдвига (модуль упругости II рода), μ – коэффициент Пуассона (=0,3), γ – угол сдвига.

7. Закон Гука для одноосного напряжённого состояния в точке и закон Гука для чистого сдвига. Модули упругости первого и второго рода, их физический смысл, математический смысл и графическая интерпретация. Коэффициент Пуассона.

- закон Гука для одноосного напряжённого состояния в точке.

Е – коэффициент пропорциональности (модуль упругости I рода). Модуль упругости является физической константой материала и определяется экспериментально. Величина Е измеряется в тех же единицах, что и σ, т.е. в кГ/см 2 .

- закон Гука для сдвига.

G– модуль сдвига (модуль упругости II рода). Размерность модуляGтакая же, как и у модуля Е, т.е. кГ/см 2 .
.

μ – коэффициент Пуассона (коэффициент пропорциональности).
. Безразмерная величина, характеризующая свойства материала и определяющаяся экспериментально и лежит в интервале от 0,25 до 0,35 и не могут превышают 0,5 (для изотропного материала).

8. Центральное растяжение (сжатие) прямого бруса. Определение внутренних продольных сил методом сечений. Правило знаков для внутренних продольных сил. Привести примеры расчёта внутренних продольных сил.

Брус испытывает состояние центрального растяжения (сжатия) в том случае, если в его поперечных сечениях возникают центральные продольные силы N z (т.е. внутренняя сила, линия действия которой направлена по осиz), а остальные 5 силовых факторов равны нулю (Q x =Q y =M x =M y =M z =0).

Правило знаков для N z: истинная растягивающая сила – «+», истинная сжимающая сила – «-».

9. Центральное растяжение (сжатие) прямого бруса. Постановка и решение задачи об определении напряжений в поперечных сечениях бруса. Три стороны задачи.

Постановка: Прямой брус из однородного материала, растянутый (сжатый) центральными продольными силами N. Определить напряжение, возникающее в поперечных сечениях бруса, деформации и перемещения поперечных сечений бруса в зависимости от координатzэтих сечений.

10. Центральное растяжение (сжатие) прямого бруса. Определение деформаций и перемещений. Жёсткость бруса при растяжении (сжатии). Привести примеры соответствующих расчётов.

Центральное напряжение (сж.) прямого бруса см. в вопросе 8.

.

При центральном растяжении (сж.) бруса в поперечном направлении в сечении возникает только нормальное напряжение σ z , постоянное во всех точках поперечного сечения и равноеN z /F.
, гдеEF– жёсткость бруса при растяжении (сжатии). Чем больше жёсткость бруса, тем меньше деформируется бус при одной и той же силе. 1/(EF) – податливость бруса при растяжении (сжатии).

11. Центральное растяжение (сжатие) прямого бруса. Статически неопределимые системы. Раскрытие статической неопределимости. Влияние температурного и монтажного факторов. Привести примеры соответствующих расчётов.

Центральное напряжение (сж.) прямого бруса см. в вопросе 8.

Если число линейно-независимых уравнений статики меньше числа неизвестных, входящих в систему этих уравнений, то задача по определению этих неизвестных становится статически неопределимой.
(На сколько удлинится одна часть, на столько сожмётся вторая).

Нормальные условия - 20º С.
.f(σ,ε,tº,t)=0 – функциональная зависимость между 4 параметрами.

12. Опытное изучение механических свойств материалов при растяжении (сжатии). Принцип Сен-Венана. Диаграмма растяжения образца. Разгрузка и повторное нагружение. Наклёп. Основные механические, прочностные и деформационные характеристики материала.

Механические свойства материалов вычисляют с помощью испытательных машин, которые бывают рычажными и гидравлическими. В рычажной машине усилие создаётся при помощи груза, действующего на образец через систему рычагов, а в гидравлической – с помощью гидравлического давления.

Принцип Сен-Венана: Характер распределения напряжения в поперечных сечениях достаточно удалённых (практически на расстояния, равные характерному поперечному размеру стержня) от места приложения нагрузок, продольных сил не зависит от способа приложения этих сил, если они имеют один и тот же статический эквивалент. Однако в зоне приложения нагрузок закон распределения напряжения может заметно отличаться от закона распределения в достаточно удалённых сечениях.

Если испытуемый образец, не доводя до разрушения, разгрузить, то в процессе разгрузки зависимость между силой Р и удлинением Δlобразец получит остаточное удлинение.

Если образец был нагружен на участке, на котором соблюдается закон Гука, а затем разгружен, то удлинение будет чисто упругим. При повторном нагружении пропадёт промежуточная разгрузка.

Наклёп (нагартовка) – явление повышения упругих свойств материала в результате предварительного пластического деформирования.

Предел пропорциональности – наибольшее напряжение, до которого материал следует закону Гука.

Предел упругости – наибольшее напряжение, до которого материал не получает остаточных деформаций.

Предел текучести – напряжение, при котором происходит рост деформации без заметного увеличения нагрузки.

Предел прочности – максимальное напряжение, которое может выдержать образец, не разрушаясь.

13. Физический и условный пределы текучести материалов при испытании образцов на растяжение, предел прочности. Допускаемые напряжения при расчёте на прочность центрально растянутого (сжатого) бруса. Нормативный и фактический коэффициенты запаса прочности. Привести числовые примеры.

В тех случаях, когда на диаграмме отсутствует явно выраженная площадка текучести, за предел текучести принимается условно величина напряжения, при котором остаточная деформация ε ост =0,002 или 0,2%. В некоторых случаях устанавливается предел ε ост =0,5%.

max|σ z |=[σ].
,n>1(!) – нормативный коэффициент запаса прочности.

- фактический коэффициент запаса прочности.n>1(!).

14. Центральное растяжение (сжатие) прямого бруса. Расчёты на прочность и жёсткость. Условие прочности. Условие жёсткости. Три типа задач при расчёте на прочность.

Центральное напряжение (сж.) прямого бруса см. в вопросе 8.

max|σ z | растяж ≤[σ] растяж;max|σ z | сжатия ≤[σ] сжатия.

15.Обобщённый закон Гука для трёхосного напряжённого состояния в точке. Относительная объёмная деформация. Коэффициент Пуассона и его предельные значения для однородного изотропного материала.

,
,
. Сложив эти уравнения, получим выражение объёмной деформации:
. Это выражение позволяет определить предельное значение коэффициента Пуассона для любого изотропного материала. Рассмотрим случай, когда σ x =σ y =σ z =р. В этом случае:
. При положительном р величина θ должна быть также положительной, при отрицательном р изменение объёма будет отрицательным. Это возможно только в том случае, когда μ≤1/2. Следовательно, значение коэффициента Пуассона для изотропного материала не может превышать 0,5.

16. Соотношение между тремя упругими постоянными для изотропного материала (без вывода формулы).

,
,
.

17. Исследование напряжённо-деформированного состояния в точках центрально-растянутого (сжатого) прямого бруса. Закон парности касательных напряжений.

,
.

- закон парности касательных напряжений.

18. Центральное растяжение (сжатие) бруса из линейно-упругого материала. Потенциальная энергия упругой деформации бруса и её связь с работой внешних продольных сил, приложенных к брусу.

А=U+K. (В результате работы накапливается потенциальная энергия деформированного телаU, кроме того, работа идёт на совершение скорости массе тела, т.е. преобразуется в кинетическую энергию).

Если центральное растяжение (сжатие) бруса из линейно-упругого материала производится очень медленно, то скорость перемещения центра масс тела будет весьма малой. Такой процесс нагружения называется статическим. Тело в любой момент находится в состоянии равновесия. В этом случае А=U, и работа внешних сил целиком преобразуется в потенциальную энергию деформации.
,
,
.

"