Логарифмически нормальная функция распределения нашла широкое применение при анализе надежности объектов техники, биологии, экономики и др. Например, функцию успешно применяют для описания наработки до отказа подшипников, электронных приборов и других изделий.
Неотрицательные случайные значения некоторого параметра распределены логарифмически нормально, если его логарифм распределен нормально. Плотность распределения для различных значений σ приведена на рис. 4.3.
Рис. 4.3.
Плотность распределения описывается зависимостью
где М
х и σ – параметры, оцениваемые по результатам п
испытаний до отказа:
(4.4)
Для логарифмически нормального закона распределения функция надежности
(4.5)
Вероятность безотказной работы можно определить по таблицам для нормального распределения (см. табл. П6.1 приложения 6) в зависимости от значения квантиля
Математическое ожидание наработки до отказа
Среднее квадратическое отклонение и коэффициент вариации соответственно будут равны
Если v
x ≤
0,3, то полагают, что ν
x = σ, при этом ошибка составляет не более 1%.
Часто применяют запись зависимостей для логарифмически нормального закона распределения в десятичных логарифмах. В соответствии с этим законом плотность распределения
Оценки параметров lg x
0 и σ определяют по результатам испытаний:
Математическое ожидание М
х, среднее квадратическое отклонение σ
x и коэффициент вариации ν
x наработки до отказа соответственно равны
Пример 4.6
Определить вероятность безотказной работы редуктора в течение t
= 103 ч, если ресурс распределен логарифмически нормально с параметрами lg t
0 = 3,6; σ = 0,3.
Решение
Найдем значение квантиля и определим вероятность безотказной работы:
Ответ: R
(t
) = 0,0228.
Распределение Вейбулла
Функция распределения Вейбулла представляет собой двухпараметрическое распределение. Описываемый ею закон является универсальным, так как при соответствующих значениях параметров превращается в нормальное, экспоненциальное и другие виды распределений. Автор данного закона распределения В. Вейбулл использовал его при описании и анализе экспериментально наблюдавшихся разбросов усталостной прочности стали, пределов ее упругости. Закон Вейбулла удовлетворительно описывает наработку до отказа подшипников, элементов электронной аппаратуры, его используют для оценки надежности деталей и узлов машин, в том числе автомобилей, а также для оценки надежности машин в процессе их приработки. Плотность распределения описывается зависимостью
где α – параметр формы кривой распределения; λ – параметр масштаба кривой распределения.
График функции плотности распределения приведен на рис. 4.4.
Рис. 4.4.
Функция распределения Вейбулла
Функция надежности для этого закона распределения
Математическое ожидание случайной величины х
равно
где Г(x
) – гамма-функция.
Для непрерывных значений х
Для целочисленных значений х
гамма-функцию вычисляют по формуле
также верны формулы
Дисперсия случайной величины равна
Широкое применение при анализе и расчетах надежности изделий закона распределения Вейбулла объясняется тем, что этот закон, обобщая экспоненциальное распределение, содержит дополнительный параметр α.
Подбирая нужным образом параметры а и λ, можно получить лучшее соответствие расчетных значений опытным данным по сравнению с экспоненциальным законом, который является однопараметрическим (параметр λ).
Так, для изделий, у которых имеются скрытые дефекты, но которые длительное время не используются (а значит, медленнее стареют), опасность отказа имеет наибольшее значение в начальный период, а потом быстро падает. Функция надежности для такого изделия хорошо описывается законом Вейбулла с параметром α < 1.
Наоборот, если изделие хорошо контролируется при изготовлении и почти не имеет скрытых дефектов, но подвергается быстрому старению, то функция надежности описывается законом Вейбулла с параметром α > 1. При α = 3,3 распределение Вейбулла близко к нормальному.
Ты - не раб!
Закрытый образовательный курс для детей элиты: "Истинное обустройство мира".
http://noslave.org
Материал из Википедии - свободной энциклопедии
Функция вероятности
|
Функция распределения
|
Обозначение
|
texvc не найден; См. math/README - справку по настройке.): \mathrm{Log}(p)
|
Параметры
|
Невозможно разобрать выражение (Выполняемый файл texvc < p < 1
|
Носитель
|
Невозможно разобрать выражение (Выполняемый файл texvc не найден; См. math/README - справку по настройке.): k \in \{1,2,3,\dots\}
|
Функция вероятности
|
Невозможно разобрать выражение (Выполняемый файл texvc не найден; См. math/README - справку по настройке.): \frac{-1}{\ln(1-p)} \; \frac{\;p^k}{k}
|
Функция распределения
|
Невозможно разобрать выражение (Выполняемый файл texvc не найден; См. math/README - справку по настройке.): 1 + \frac{\Beta_p(k+1,0)}{\ln(1-p)}
|
Математическое ожидание
|
Невозможно разобрать выражение (Выполняемый файл texvc не найден; См. math/README - справку по настройке.): \frac{-1}{\ln(1-p)} \; \frac{p}{1-p}
|
Медиана
|
|
Мода
|
Невозможно разобрать выражение (Выполняемый файл texvc не найден; См. math/README - справку по настройке.): 1
|
Дисперсия
|
Невозможно разобрать выражение (Выполняемый файл texvc не найден; См. math/README - справку по настройке.): -p \;\frac{p + \ln(1-p)}{(1-p)^2\,\ln^2(1-p)}
|
Коэффициент асимметрии
|
|
Коэффициент эксцесса
|
|
Дифференциальная энтропия
|
|
Производящая функция моментов
|
Невозможно разобрать выражение (Выполняемый файл texvc не найден; См. math/README - справку по настройке.): \frac{\ln(1 - p\,\exp(t))}{\ln(1-p)}
|
Характеристическая функция
|
Невозможно разобрать выражение (Выполняемый файл texvc не найден; См. math/README - справку по настройке.): \frac{\ln(1 - p\,\exp(i\,t))}{\ln(1-p)}
|
Логарифмическое распределение
в теории вероятностей - класс дискретных распределений. Логарифмическое распределение используется в различных приложениях, включая математическую генетику и физику.
Определение
Пусть распределение случайной величины Невозможно разобрать выражение (Выполняемый файл texvc
задаётся функцией вероятности:
Невозможно разобрать выражение (Выполняемый файл texvc
не найден; См. math/README - справку по настройке.): p_Y(k) \equiv \mathbb{P}(Y=k) = -\frac{1}{\ln(1-p)} \frac{p^k}{k},\; k=1,2,3,\ldots
,
где Невозможно разобрать выражение (Выполняемый файл texvc
не найден; См. math/README - справку по настройке.): 0
Тогда говорят, что Невозможно разобрать выражение (Выполняемый файл texvc
не найден; См. math/README - справку по настройке.): Y
имеет логарифмическое распределение с параметром Невозможно разобрать выражение (Выполняемый файл texvc
не найден; См. math/README - справку по настройке.): p
. Пишут: Невозможно разобрать выражение (Выполняемый файл texvc
.
Функция распределения случайной величины Невозможно разобрать выражение (Выполняемый файл texvc
не найден; См. math/README - справку по настройке.): Y
кусочно-постоянна со скачками в натуральных точках:
Невозможно разобрать выражение (Выполняемый файл texvc
не найден; См. math/README - справку по настройке.): F_Y(y) = \left\{ \begin{matrix} 0, & y < 1 & \\ 1 + \frac{\mathrm{B}_p(k+1,0)}{\ln (1-p)},\; & y \in ,\; 0
,
Невозможно разобрать выражение (Выполняемый файл texvc
не найден; См. math/README - справку по настройке.): \sum\limits_{k=1}^{\infty}p_Y(k) = 1
.
Моменты
Производящая функция моментов случайной величины Невозможно разобрать выражение (Выполняемый файл texvc
не найден; См. math/README - справку по настройке.): Y \sim \mathrm{Log}(p)
задаётся формулой
Невозможно разобрать выражение (Выполняемый файл texvc
не найден; См. math/README - справку по настройке.): M_Y(t) = \frac{\ln\left}{\ln}
,
Невозможно разобрать выражение (Выполняемый файл texvc
не найден; См. math/README - справку по настройке.): \mathbb{E}[Y] = - \frac{1}{\ln(1-p)} \frac{p}{1-p}
,
Невозможно разобрать выражение (Выполняемый файл texvc
не найден; См. math/README - справку по настройке.): \mathrm{D}[Y] = -p \;\frac{p + \ln(1-p)}{(1-p)^2\,\ln^2(1-p)}
.
Связь с другими распределениями
Пуассоновская сумма независимых логарифмических случайных величин имеет отрицательное биномиальное распределение. Пусть Невозможно разобрать выражение (Выполняемый файл texvc
не найден; См. math/README - справку по настройке.): \{X_i\}_{i=1}^n
последовательность независимых одинаково распределённых случайных величин, таких что Невозможно разобрать выражение (Выполняемый файл texvc
не найден; См. math/README - справку по настройке.): X_i \sim \mathrm{Log}(p), \; i=1,2,\ldots
. Пусть Невозможно разобрать выражение (Выполняемый файл texvc
не найден; См. math/README - справку по настройке.): N \sim \mathrm{P}(\lambda)
- Пуассоновская случайная величина. Тогда
Невозможно разобрать выражение (Выполняемый файл texvc
не найден; См. math/README - справку по настройке.): Y = \sum\limits_{i=1}^N X_i \sim \mathrm{NB}
.
Приложения
Логарифмическое распределение удовлетворительно описывает распределение по размерам астероидов в солнечной системе[[К:Википедия:Статьи без источников (страна: Ошибка Lua: callParserFunction: function "#property" was not found.
)]][[К:Википедия:Статьи без источников (страна: Ошибка Lua: callParserFunction: function "#property" was not found.
)]]
.
90px
|
Вероятностные распределения
|
---|
Одномерные
|
Многомерные
|
---|
Дискретные:
|
Бернулли | Биномиальное | Геометрическое | Гипергеометрическое | Логарифмическое
| Отрицательное биномиальное | Пуассона | Дискретное равномерное
|
Мультиномиальное
|
---|
Абсолютно непрерывные:
|
Бета | Вейбулла | Гамма | Гиперэкспоненциальное | Распределение Гомпертца | Колмогорова | Коши | Лапласа | Логнормальное | Нормальное (Гаусса) | Логистическое | Накагами | Парето | Пирсона | Полукруговое | Непрерывное равномерное | Райса | Рэлея | Стьюдента | Трейси - Видома | Фишера | Хи-квадрат | Экспоненциальное | Variance-gamma
|
Многомерное нормальное | Копула
|
---|
.[[К:Википедия:Статьи без источников (страна: Ошибка Lua: callParserFunction: function "#property" was not found.
)]][[К:Википедия:Статьи без источников (страна: Ошибка Lua: callParserFunction: function "#property" was not found.
)]][[К:Википедия:Статьи без источников (страна: Ошибка Lua: callParserFunction: function "#property" was not found.
)]]
|
Напишите отзыв о статье "Логарифмическое распределение"
Отрывок, характеризующий Логарифмическое распределение
Девочка глубоко о чём-то задумалась, потом звонко рассмеялась и весело сказала:
– Это было так смешно, когда я только начала «творить»!!! Ой, ты бы знала, как это было смешно и забавно!.. Вначале, когда от меня «ушли» все, было очень грустно, и я много плакала... Я тогда ещё не знала где они, и мама, и братик... Я не знала ещё ничего. Вот тогда, видимо, бабушке стало меня жалко и она начала понемножку меня учить. И... ой, что было!.. Вначале я куда-то постоянно проваливалась, создавала всё «шиворот навыворот» и бабушке приходилось за мной почти всё время наблюдать. А потом я научилась... Даже жалко, потому что она теперь уже реже приходит... и я боюсь, что может когда-нибудь она не придёт совсем...
Впервые я увидела, насколько грустно иногда бывает этой маленькой одинокой девочке, несмотря на все эти, создаваемые ею, удивительные миры!.. И какой бы она ни была счастливой и доброй «от рождения», она всё ещё оставалась всего лишь очень маленьким, всеми родными неожиданно брошенным ребёнком, который панически боялся, чтобы единственный родной человек – её бабушка – тоже бы в один прекрасный день от неё не ушла...
– Ой, пожалуйста, так не думай! – воскликнула я. – Она тебя так любит! И она тебя никогда не оставит.
– Да нет... она сказала, что у всех нас есть своя жизнь, и мы должны прожить её так, как каждому из нас суждено... Это грустно, правда?
Но Стелла, видимо, просто не могла долго находиться в печальном состоянии, так как её личико опять радостно засветилось, и она уже совсем другим голоском спросила:
– Ну что, будем смотреть дальше или ты уже всё забыла?
– Ну, конечно же, будем! – как бы только что очнувшись от сна, теперь уже с большей готовностью ответила я.
Я не могла ещё с уверенностью сказать, что хотя бы что-то по-настоящему понимаю. Но было невероятно интересно, и кое-какие Стеллины действия уже становились более понятными, чем это было в самом начале. Малышка на секунду сосредоточилась, и мы снова оказались во Франции, как бы начиная точно с того же самого момента, на котором недавно остановились... Опять был тот же богатый экипаж и та же самая красивая пара, которая никак не могла о чём-то договориться... Наконец-то, совершенно отчаявшись что-то своей юной и капризной даме доказать, молодой человек откинулся на спинку мерно покачивавшегося сидения и грустно произнёс:
Функция вероятности
|
Функция распределения
|
Обозначение
|
|
Параметры
|
|
Носитель
|
|
Функция вероятности
|
|
Функция распределения
|
|
Математическое ожидание
|
|
Медиана
|
|
Мода
|
|
Дисперсия
|
|
Коэффициент асимметрии
|
|
Коэффициент эксцесса
|
|
Дифференциальная энтропия
|
|
Производящая функция моментов
|
|
Характеристическая функция
|
|
Логарифмическое распределение
в теории вероятностей - класс дискретных распределений. Логарифмическое распределение используется в различных приложениях, включая математическую генетику и физику.
Определение
Пусть распределение случайной величины задаётся функцией вероятности:
,
где