ЛЕКЦИЯ № 16

АППРОКСИМАЦИЯ ВАХ НЕЛИНЕЙНЫХ ЭЛЕМЕНТОВ. МЕТОДЫ РАСЧЕТА НЕДИНЕЙНЫХ ЭЛЕКТРИЧЕСКИХ ЦЕПЕЙ

Учебные вопросы

1. Аппроксимация ВАХ нелинейных элементов. Полиномиальная аппроксимация.

2. Кусочно-линейная аппроксимация.

3. Классификация методов анализа нелинейных цепей.

4. Аналитические и численные методы анализа нелинейных цепей постоянного тока.

7. Ток в нелинейном резисторе при воздействии синусоидального напряжения.

8. Основные преобразования, осуществляемые с помощью нелинейных электрических цепей переменного тока.

1. Аппроксимация вольт-амперных характеристик нелинейных элементов

Вольт-амперные характеристики реальных элементов электрических цепей обычно имеют сложный вид и представляются в виде графиков или таблиц экспериментальных данных. В ряде случаев непосредственное применение ВАХ, задаваемых в такой форме, оказывается неудобным и их стремятся описать с помощью достаточно простых аналитических соотношений, качественно отражающих характер рассматриваемых ВАХ.

Замена сложных функций приближенными аналитическими выражениями называется аппроксимацией .

Аналитические выражения, аппроксимирующие ВАХ нелинейных резистивных элементов, должны как можно более точно описывать ход реальных характеристик.

Следовательно, задача аппроксимации ВАХ включает в себя две самостоятельные задачи:

1) выбор аппроксимирующей функции;

2) определение значений входящих в эту функцию постоянных коэффициентов наиболее часто используются два вида аппроксимации ВАХ нелинейных элементов:

Полиномиальная;

Кусочно-линейная.

1.1. Полиномиальная аппроксимация

Аппроксимация степенным полиномом выполняется на основе формулы ряда Тейлора для ВАХ НЭ:

т.е. ВАХ в данном случае должна быть непрерывной, однозначной и абсолютно гладкой (должна иметь производные любого порядка).

В практических расчетах обычно ВАХ не дифференцируют, а требуют, например, чтобы аппроксимирующая кривя (16.5) прошла через заданные токи.

В так называемом методе трех точек необходимо, чтобы некоторые три точки ВАХ:

(i 1 , u 1), (i 2 , u 2), (i 3 , u 3) – отвечали номиналу (16.5) (рис.16.9).

Из уравнений

несложно найти искомые коэффициенты a 0 , a 1 , a 2 , поскольку относительно их система (16.6) линейна.

Если ВАХ сильно изрезана и требуется отразить ее особенности, необходимо учитывать большее число точек ВАХ. Система типа (16.6) становится сложной, однако ее решение может быть найдено по формуле Лагранжа, определяющей уравнение полинома, проходящего через n точек:

(16.7)

где A k (u ) = (u – u 1) ... (u – u k-1) (u – u k+1) ... (u – u n).

Пример . Пусть нелинейный элемент имеет ВАХ, заданную графически (рис.16.10).

Требуется аппроксимировать ВАХ ИЭ степенным полиномом.

На графике ВАХ выделяются четыре точки с координатами:

На основании формулы Лагранжа (16.7) получим

Таким образом, аппроксимирующая функция имеет вид

и нэ = -6,7i 3 + 30i 2 – 13,3i .

2. Кусочно-линейная аппроксимация

При кусочно-линейной аппроксимации ВАХ НЭ аппроксимируетсясовокупностью линейных участков (кусков) вблизи возможных рабочих точек.

Пример . Для двух участков нелинейной ВАХ (рис.16.11) получим:

Пример . Пусть требуется линеаризировать участок ВАХ между токамиА иВ , который используется в качестве рабочей области около рабочей точкиР (рис.16.12).

Тогда уравнение линеаризированного участка ВАХ вблизи рабочей точки Р будет

Очевидно, что аналитическая аппроксимация ВАХ верна только для выбранного участка линеаризации.

Характеристики реальных нелинейных элементов, которые определяют обычно с помощью экспериментальных исследований, имеют сложный вид и представляются в виде таблиц или графиков. В то же время для анализа и расчета цепей необходимо аналитическое представление характеристик, т.е. представление в виде достаточно простых функций. Процесс составления аналитического выражения для характеристик, представленных графически или таблично, называется аппроксимацией.

При аппроксимации решаются следующие проблемы:

1. Определение области аппроксимации, которая зависит от диапазона изменения входных сигналов.

2. Определение точности аппроксимации. Понятно, что аппроксимация дает приблизительное представление характеристики в виде какого-либо аналитического выражения. Поэтому необходимо количественно оценить степень приближения аппроксимирующей функции к экспериментально определенной характеристике. Чаще всего используются:

показатель равномерного приближения – аппроксимирующая функция не должна отличаться от заданной функции более чем на некоторое число , т.е.

показатель среднего квадратического приближения – аппроксимирующая функция не должна отличаться от заданной функции в среднем квадратическом приближении более чем на некоторое число , т.е.

узловое приближение (интерполяционное) – аппроксимирующая функция должна совпадать с заданной функцией в некоторых выбранных точках.

Существуют различные способы аппроксимации. Наиболее часто для аппроксимации ВАХ применяют аппроксимацию степенным полиномом и кусочно-линейную аппроксимацию, реже – аппроксимацию с использованием показательных, тригонометрических или специальных функций (Бесселя, Эрмита и др.).

7.2.1. Аппроксимация степенным полиномом

Нелинейную вольт-амперную характеристику в окрестности рабочей точки представляют конечным числом слагаемых ряда Тейлора:

Количество членов ряда определяется требуемой точностью аппроксимации. Чем больше членов ряда, тем точнее аппроксимация. На практике необходимой точности добиваются, используя аппроксимацию полиномами второй и третьей степени. Коэффициенты – это числа, которые достаточно просто определяются из графика ВАХ, что иллюстрируется примером.

Пример.

Аппроксимировать представленную на рис. 7.1,а ВАХ в окрестности рабочей точки степенным полиномом второй степени, т.е. полиномом вида

Выберем область аппроксимации от 0,2 В до 0,6 В. Для решения задачи необходимо определить три коэффициента . Поэтому ограничимся тремя узловыми точками (в середине и на границах выбранного диапазона), для которых составляем систему трех уравнений:

Рис. 7.1. Аппроксимация ВАХ транзистора

Решая систему уравнений, определяем , , . Следовательно, аналитическое выражение, описывающее график ВАХ, имеет вид

Заметим, что аппроксимация степенным полиномом используется в основном для описания отдельных фрагментов характеристик. При значительных отклонениях входного сигнала от рабочей точки точность аппроксимации может значительно ухудшиться.

Если ВАХ задана не графически, а какой-либо аналитической функцией и возникла необходимость представить ее степенным полиномом, то коэффициенты вычисляются по известной формуле

Нетрудно заметить, что представляет собой крутизну ВАХ в рабочей точке. Значение крутизны существенно зависит от положения рабочей точки.

В некоторых случаях удобнее характеристику представлять рядом Маклорена

7.2.2. Кусочно-линейная аппроксимация

Если входной сигнал изменяется по величине в больших пределах, то ВАХ можно аппроксимировать ломаной линией, состоящей из нескольких отрезков прямых. На рис. 7.1,б показана ВАХ транзистора, аппроксимированная тремя отрезками прямых.

Математическая формула аппроксимированной ВАХ

Данный вид аппроксимации связан с двумя важными параметрами нелинейного элемента: напряжением начала характеристики и ее крутизной . Для увеличения точности аппроксимации увеличивают количество отрезков линий. Однако это усложняет математическую формулу ВАХ.

2.7.1 НЕЛИНЕЙНЫЕ ЦЕПИ И АППРОКСИМАЦИЯ ХАРАКТЕРИСТИК НЕЛИНЕЙНЫХ ЭЛЕМЕНТОВ

Все цепи, рассматриваемые до сих пор , относились к классу линейных систем. Элементы таких цепей R, L и С являются постоянными и не зависят от воздействия. Линейные цепи описываются линейными дифференциальными уравнениями с постоянными коэффициентами.

Если элементы электрической цепи R, L и С зависят от воздействия , то цепь описывается нелинейным дифференциальным уравнением и является нелинейной. Например, для колебательного RLC -контура, сопротивление которого зависит от напряжения u c , получим:

. (1)

Такой колебательный контур является нелинейным. Элемент электрической цепи, параметры которого зависят от воздействия, называется нелинейным . Различают резистивные и реактивные нелинейные элементы.

Для нелинейного резистивного элемента характерна нелинейная связь между током i и напряжением u , т. е, нелинейная характеристика i = F(u). Наиболее распространенными резистивными нелинейными элементами являются ламповые и полупроводниковые приборы, используемые для усиления и преобразования сигналов. На рисунке 12.1 приведена ВАХ типового нелинейного элемента (полупроводникового диода).

Для резистивных нелинейных элементов важным параметром является их сопротивление, которое в отличие от линейных резисторов не является постоянным, а зависит от того, в какой точке ВАХ оно определяется .

Рисунок 12.1 - ВАХ нелинейного элемента

По ВАХ нелинейного элемента можно определить сопротивление как

(2)

где U 0 - приложенное к нелинейному элементу постоянное напряжение ;

I 0 = F(U 0 ) — протекающий по цепи постоянный ток . Это сопротивление постоянному току (или статическое) . Оно зависит от приложенного напряжения.

Пусть на нелинейный элемент действует напряжение u = U 0 + U m cos w t , причем амплитуда U m , переменной составляющей достаточно мала (рисунок 12.2 ), так что тот небольшой участок ВАХ в пределах которого действует переменное напряжение, можно считать линейным . Тогда ток. протекающий через нелинейный элемент, повторит по форме напряжение : i = I 0 + I m cos w t.

Определим сопротивление R диф как отношение амплитуды переменного напряжения U m к амплитуде переменного тока I m (на графике это отношение приращения напряжения D u к приращению тока D i ):

(3)

Рисунок 12.2 - Воздействие малого гармонического сигнала на нелинейный элемент

Это сопротивление называется дифференциальным (динамическим) и представляет собой сопротивление нелинейного элемента переменному току малой амплитуды. Обычно переходят к пределу этих приращений и определяют дифференциальное сопротивление в виде R диф =du/di.

Приборы, имеющие падающие участки на ВАХ, называются приборами с отрицательным сопротивлением, так как на этих участках производные di/du < 0 и du/di < 0.

К нелинейным реактивным элементам относятся нелинейная емкость и нелинейная индуктивность. Примером нелинейной емкости может служить любое устройство обладающее нелинейной вольт-кулонной характеристикой q = F(u) (например, вариконд и варикап). Нелинейной индуктивностью является катушка с ферромагнитным сердечником, обтекаемая сильным током, доводящим сердечник до магнитного насыщения.

Одной из важнейших особенностей нелинейных цепей является то, что в них не выполняется принцип наложения. Поэтому невозможно предсказать результат воздействия суммы сигналов, если известны реакции цепи на каждое слагаемое воздействия. Из сказанного вытекает непригодность для анализа нелинейных цепей временного и спектрального методов, которые применялись в теории линейных цепей.

Действительно, пусть вольт-амперная характеристика (ВАХ) нелинейного элемента описывается выражением i = a u 2 . Если на такой элемент действует сложный сигнал u = u 1 + u 2 , то отклик i = a (u 1 + u 2 ) 2 = a u 1 2 + a u 2 2 + 2 a u 1 u 2 отличается от суммы откликов на действие каждой составляющей в отдельности (a u 1 2 + a u 2 2 ) наличием компоненты 2 a u 1 u 2 , которая появляется только в случае одновременного воздействия обеих составляющих.

Рассмотрим вторую отличительную особенность нелинейных цепей . Пусть u = u 1 + u 2 = U m1 cos w 0 t + U m2 cos W t ,

где U m1 и U m2 - амплитуды напряжений u 1 и u 2 .

Тогда ток в нелинейном элементе с ВАХ i = a u 2 будет иметь вид:

(4)

На рисунке 12.3 построены спектры напряжения и тока. Все спектральные компоненты тока оказались новыми , не содержащимися в напряжении. Таким образом, в нелинейных цепях возникают новые спектральные компоненты . В этом смысле нелинейные цепи обладают гораздо большими возможностями, чем линейные, и широко используются для преобразований сигналов, связанных с изменением их спектров.

При изучении же теории нелинейных цепей можно не учитывать устройство нелинейного элемента и опираться только на его внешние характеристики подобно тому, как при изучении теории линейных цепей не рассматривают устройство резисторов конденсаторов и катушек и пользуются только их параметрами R, L и С .

Рисунок 12.3 - Спектры напряжения и тока квадратичного нелинейного элемента

Иллюстрация указанного воздействия на реальный полупроводниковый диод

2.7.2 Аппроксимация характеристик нелинейных элементов

Как правило, ВАХ нелинейных элементов i = F(u) получают экспериментально, поэтому чаще всего они заданы в виде таблиц или графиков . Чтобы иметь дело с аналитическими выражениями , приходится прибегать к аппроксимации.

Обозначим заданную таблично или графически ВАХ нелинейного элемента i = F V (u), а аналитическую функцию , а ппроксимирующую заданную характеристику, i = F(u, a 0 , a 1 , a 2 , … , a N ). где a 0 , a 1 , … , a N — коэффициенты этой функции, которые нужно найти в результате аппроксимации.

А) В методе Чебышева коэффициенты a 0 , a 1 , … , a N функции F(u) находятся из условия:

, (5)

т. е. они определяются в процессе минимизации максимального уклонения аналитической функции от заданной. Здесь u k , k = 1, 2, ..., G — выбранные значения напряжения u.

При среднеквадратичном приближении коэффициенты a 0 , a 1 , …, a N должны быть такими, чтобы минимизировать величину

(6)

Б) Приближение функции по Тейлору основано на представлении функции i = F(u) рядом Тейлора в окрестности точки u = U 0 :

(7)

и определении коэффициентов этого разложения. Если ограничиться первыми двумя членами разложения в ряд Тейлора, то речь пойдет о замене сложной нелинейной зависимости F(u) более простой линейной зависимостью . Такая замена называемся линеаризацией характеристик.

Первый член разложения F(U 0 ) = I 0 представляет собой постоянный ток в рабочей точке при u = U 0 , а второй ч лен

- (8)

дифференциальную крутизну вольт-амперной характеристики в рабочей точке , т. е. при u = U 0 .

В) Наиболее распространенным способом приближения заданной функции является интерполяция (метод выбранных точек), при которой к оэффициенты a 0 , a 1 , …, a N аппроксимирующей функции F(u) находятся из равенства этой функции и заданной F x (u) в выбранных точках (узлах интерполяции) u k = 1, 2, ..., N+1.

Д) Степенная (полиномиальная ) аппроксимация. Такое название получила аппроксимация ВАХ степенными полиномами:

(9)

Иногда бывает удобно решать задачу аппроксимации заданной характеристики в окрестности точки U 0 , называемой рабочей . Тогда используют степенной полином

(10)

Степенная аппроксимация широко используется при анализе работы нелинейных устройств, на которые подаются относительно малые внешние воздействия , поэтому требуется достаточно точное воспроизведение нелинейности характеристики в окрестности рабочей точки.

Е) Кусочно-линейная аппроксимация. В тех случаях, когда на нелинейный элемент воздействуют напряжения с большими амплитудами, можно допустить более приближенную замену характеристики нелинейного элемента и использовать более простые аппроксимирующие функции . Наиболее часто при анализе работы нелинейного элемента в таком режиме реальная характеристика заменяется отрезками прямых линий с различными наклонами .

С математической точки зрения это означает, что на каждом заменяемом участке характеристики используются степенные полиномы первой степени (N = 1 ) с различными значениями коэффициентов a 0 , a 1 , …, a N .

Таким образом, задача аппроксимации ВАХ нелинейных элементов заключается в выборе вида аппроксимирующей функции и определении ее коэффициентов одним из указанных выше методов.

Воздействие гармонического сигнала на цепь с нелинейным элементом

Рисунок 6.3

Первое семейство характеристик в (6.1) носит название входных, второе– выходных характеристик (полагается, что полюс 1 выступает в качестве входа нелинейного элемента, а полюс 2 – в качестве выхода). Общий вид входных характеристик транзистора приведен на рисунке 6. 3, б, выходных - на рисунке 6. 3, в. Поскольку третье семейство в (6. 2) характеризует влияние выходного напряжения на входное, оно называется характеристикой обратной связи по напряжению. Четвертое семейство представляет собой характеристики прямой передачи по току или сквозные характеристики.

Как и нелинейные двухполюсники, трехполюсные элементы в режиме “малого” сигнала хорошо описываются дифференциальными параметрами, которые могут быть определены путем дифференцирования статических характеристик. Так, из первого семейства может быть найден параметр

который называется дифференциальным входным сопротивлением. Семейство 2 позволяет найти дифференциальную выходную проводимость

При помощи нелинейных цепей решается целый ряд весьма важных для практики задач. Отметим некоторые из них.

1. Преобразование переменного тока в постоянный. Устройства, реализующие такое преобразование, называются выпрямителями.

2. Преобразование постоянного тока в переменный. Производится при помощи устройств, которые в радиотехнике называются автогенераторами, а в промышленной электронике – инверторами.

3. Умножение частоты, то есть получение на выходе устройства напряжения, частота которого в несколько раз больше частоты входного сигнала. Реализуется данная функция в умножителях частоты.

4. Преобразователи частоты - изменение частоты несущего колебания без изменения вида и характера модуляции.

5. Осуществление различных видов модуляции; устройства, позволяющего осуществить модуляцию, называются модуляторами.

6. Демодуляция сигналов, то есть выделение из высокочастотного колебания низкочастотного управляющего сигнала; устройства, осуществляющие демодуляцию, носят название демодуляторов или детекторов.

7. Стабилизация напряжения или тока, то есть получение на выходе устройства напряжения или тока, практически не изменяющихся по величине при изменяющихся в широком диапазоне входном напряжении и сопротивлении нагрузки.

8. Преобразование формы сигнала; например, напряжения синусоидальной формы в прямоугольное.

9. Повышение мощности сигнала.

10. Преобразование и запоминание дискретных сигналов.

Аппроксимация нелинейных характеристик

Как отмечалось в предыдущем разделе, аналитическая форма представления статических характеристик нелинейных элементов является наиболее удобной для практического использования. Для получения аналитического описания характеристик используется, как правило, один из двух подходов. Первый предполагает выполнение анализа физических процессов, имеющих место в рассматриваемом элементе, составление уравнений, описывающих эти процессы, и затем поиск аналитического выражения для статической характеристики путем решения составленных уравнений. Достоинством такого подхода является то, что получаемые соотношения характеризуются параметрами, имеющими конкретный физический смысл. Однако данному подходу присущи и существенные недостатки. Во-первых, необходима достаточно достоверная информация о физических процессах, протекающих в элементе. Во-вторых, уравнения, описывающие внутренние процессы в реальных элементах, как правило достаточно сложны, аналитическое решение их возможно только при введение значительных упрощающих допущений. В результате полученное аналитическое выражение может в весьма малой степени отражать реальную статическую характеристику.

Второй подход основан на аппроксимации характеристик нелинейных элементов, найденных экспериментальным путем.

Режимы работы элементов могут быть различными. В одних режимах токи и напряжения элемента изменяются только в небольшой окрестности некоторой точки покоя, в других режимах область изменения токов и напряжений охватывает всю характеристику или большую ее часть. В соответствии с этим аппроксимирующая эту характеристику функция должна с наибольшей точностью воспроизводить рабочий участок. Чем меньше рабочий участок кривой, тем более простой может быть выбрана функция, аппроксимирующая этот участок характеристики.

Существуют различные способы аппроксимации:

1) линейная;

2) нелинейная;

3) кусочно-линейная;

4) кусочно-нелинейная.

Линейная аппроксимация используется при работе нелинейного элемента в режиме малого сигнала. Аппроксимация нелинейной функции в этом случае осуществляется, как правило, касательной, проведенной или рассчитанной в точке характеристики, в окрестности которой происходят изменения токов и напряжений. В случае нелинейного резистивного двухполюсника такую аппроксимацию можно интерпретировать как замену при расчете нелинейного сопротивления линейным, числено равным дифференциальному сопротивлению. Достоинством линейной аппроксимации является возможность перехода от анализа нелинейной цепи к анализу линейной (линеаризованной) цепи, который является значительно проще. Недостаток- точность такой аппроксимации низкая и даже в режиме малого сигнала погрешность расчета может быть значительной.

При нелинейной аппроксимации используются чаще всего различные степенные ряды.

Предположим, что к нелинейному двухполюснику приложено некоторое постоянное воздействие , которое определяет его исходный рабочий режим. Это воздействие будем называть “смещением”. При этом –– значение функции в исходной точке. Если исходное воздействие изменить на некоторую величину , то, представляя новое значение функции в виде ряда Тейлора, получим

где - значения производных функции f (x) в точке .

Так как , то вместо (6. 3) можно записать

Последнее соотношение представляет собой разложение функции f(x) в ряд Тейлора в окрестности точки и является аналитическим описанием характеристики элемента. Полученная формула представляет собой степенной ряд. Чем большее число членов ряда учитывается, тем точнее будет выражаться действительная характеристика. Оставляя в разложении слагаемых, получаем многочлен -ой степени. Таким образом, аппроксимация характеристик полиномами приводит к следующим уравнениям:

а) если , то ; (6. 4)

б) если , то . (6. 5)

Коэффициенты , необходимо подбирать таким образом, чтобы аппроксимирующее уравнение с приемлемой точностью описывали рабочий участок характеристики. Чтобы не усложнять расчеты, количество членов аппроксимирующих уравнений (6. 4) и (6. 5) стараются ограничить как можно меньшим числом.

Наряду со степенными полиномами, для нелинейной аппроксимации могут использоваться и другие виды функций (экспоненциальная, тригонометрическая и т. п.). Преимущества данного подхода к получению аналитического описания нелинейных характеристик, заключается, во-первых, в возможности нахождения сколь угодно точного выражения и, во-вторых, в отсутствии необходимости знаний о принципе действия рассматриваемого элемента. Недостаток - коэффициенты аппроксимирующих выражений не имеют физического смысла, их численные значения невозможно оценивать и корректировать из общих, теоретических положений. Незначительное изменение хода характеристики или рассмотрения аппроксимируемого участка может приводить к существенным изменениям численных значений коэффициентов , .

В практике радиотехнических расчетов широко применяется метод кусочно-линейной аппроксимации. В этом случае характеристика нелинейного элемента заменяется некоторой совокупностью отрезков прямых линий, совпадающей с реальной кривой с удовлетворительной точностью. Пример кусочно-линейной аппроксимации N-образной ВАХ приведен на рисунке 6. 4. Очевидно, что аппроксимирующие соотношения для каждого участка будут различными.

Рисунок 6. 4

Такой метод сохраняя достоинства линейной аппроксимации, позволяет по сравнению с ней значительно повысить точность описания характеристик и, в тоже время, существенно упрощает сам процесс аппроксимации в сравнении с нелинейной аппроксимацией.

Недостатком кусочно-линейной аппроксимации является усложнение алгоритма расчета электрической цепи из-за необходимости постоянного контроля значений переменных. Данная процедура не создает сложностей, если в анализируемой цепи имеется только один элемент, для которого использована кусочно-линейная аппроксимация, но может оказаться чрезмерно трудоемкой с ростом числа таких элементов.

Кусочно-нелинейная аппроксимация используется в случаях, когда ни один из трех рассмотренных методов аппроксимации не дает удовлетворительного результата либо из-за низкой точности, либо из-за сложности полученных соотношений (чрезмерно большое количество членов при аппроксимации степенными полиномами, очень большое количество отрезков при кусочно-линейной аппроксимации). Иногда к кусочно-нелинейной аппроксимации прибегают в случаях, когда в результате анализа физических процессов в элементе получено соотношение, хорошо описывающие значительный участок статической характеристики, но мало приемлемое при каком-либо качественном изменении режима работы нелинейного элемента (например, явление пробоя электронно-дырочного перехода в полупроводниковых приборах). Достаточно часто такая аппроксимация позволяет с требуемой точностью описать характеристику при сравнительно небольшом числе участков, описываемых различными соотношениями (как правило, 2 - 3 участка).

Как правило, ВАХ нелинейных элементов получают экспериментально; реже удается найти их из теоретического анализа. Для исследования необходимо подобрать функцию аппроксимации такую, которая, будучи довольно простой, отражала бы все возможные особенности экспериментальной снятой характеристики с достаточной степенью точности. Чаще всего используют следующие способы аппроксимации вольт-амперных характеристик двухполюсников: кусочно-линейная, степенная, показательная аппроксимация.

Кусочно-линейная аппроксимация

Такую аппроксимацию обычно применяют при рассчете процессов в нелинейных уравнениях в случае больших амплитуд внешних воздействий. Данный способ основан на апроксимации характеристик нелинейных элементов, т.е. на приближенной замене реальной характеристики отрезками прямых линий с различными наклонами. На рисунке показана входная характеристика реального транзистора, аппроксимированная двумя отрезками прямых.

Аппроксимация определяется двумя параметрами – напряжением начала характеристики Uн и крутизной S. Математическая форма аппроксимированной ВАХ такова:

Напряжение начала входных характеристик биполярных транзисторов имеет порядок 0,2-0,8 В: крутизна характеристики тока базы iб(Uбэ) около 10мА/В. Крутизна характеристики iк(Uбэ) тока коллектора в зависимости от напряжения база-эмиттер, то величина 10мА/В должна быть умножена на h21э – коэффициент усиления тока базы. Поскольку h21э = 100-200, указанная крутизна имеет порядок нескольких ампер на вольт.

Степенная аппроксимация

Степенную аппроксимацию широко используют при анализе работы нелинейных устройств, на которые подаются относительно малые внешние воздействия. Этот способ основан на разложении нелинейной вольт-амперной характеристики i(u) в ряд Тейлора, сходящийся в окрестности рабочей точки U0.

количество членов разложения зависит от заданной точности. Рассмотрим пример:

Входная характеристика транзистора. Рабочая точка U0=0,7В. Выбираем в качестве узлов аппроксимации точки 0,5; 0,7 и 0,9 В.

Необходимо решить систему уравнений:

Спектральный состав тока в нелинейном элементе при внешнем гармоническом воздействии

Рассмотрим цепь, состоящую из последовательного соединения источника гармонического сигнала Uс(t) = coswt, источника постоянного напряжения смещения U0 и безинерционного нелинейного элемента. Для этого рассмотрим рисунок.

Ток в цепи имеет синусоидальную форму.

Форма тока и напряжения оказываются различными.

Причина искажения кривой тока проста: одинаковым приращениям напряжения отвечают неодинаковые приращения тока, т.к. , а дифференциальная крутизна ВАХ на разных участках различна.

Рассмотрим задачу аналитически.

Пусть нам известна нелинейная функция i(u)=i(Uc,U0). На нелинейный элемент действует напряжение сигнала Uc(t)=Umcos(wt+j).

Безразмерная величина x=wt+j, тогда I(x)=I(Umcosx, U0) – переодическая функция относительно аргумента x с периодом 2T. Представим ее рядом Фурье с коэффициентами .

Функция i(x) четная, поэтому ряд Фурье будет содержать только косинусные составляющие: .

Амплитудные коэффициенты гармонии

Две последние формулы дают общее решение задачи о спектре тока в нелинейном элементе при гармоническом внешнем воздействии:

т.е. ток, кроме постоянной составляющей I0, содержит бесконечную последовательность гармонии с амплитудами In. Амплитуды гармонии зависят от параметров Um и U0, а также от вида аппроксимирующей функции.

Рассмотрим каким образом зависит от вида аппроксимирующей функции.

Кусочно-линейная

i(U)=

Подано напряжение u(t)=U0+Umcoswt.

График тока имеет вид косинусоидальных импульсов с отсечкой. Угол отсечки импульсов тока определяется из равенства:

U0+Umcosq=Uн Þ .

Степенная аппроксимация.

Пусть в окрестности рабочей точки U0 ВАХ нелинейного элемента